Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp từ đại số và giải tích.

a) **Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt**:

Để chứng minh điều này, trước hết chúng ta cần kiểm tra điều kiện để phương trình trở thành một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi Δ > 0, trong đó Δ là biểu thức dưới dấu căn bậc hai trong công thức tính Δ của phương trình bậc hai.

Phương trình đã cho là \(x^2 - 4x - m^2 + 1 = 0\).

Theo công thức tính Δ, chúng ta có:
\[\Delta = b^2 - 4ac\]
\[= (-4)^2 - 4(1)(-m^2 + 1)\]
\[= 16 + 4m^2 - 4\]
\[= 4m^2 + 12\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần Δ > 0:
\[4m^2 + 12 > 0\]
\[m^2 + 3 > 0\]

Điều này luôn đúng với mọi giá trị của \(m\), vì bình phương của m luôn không âm, nên \(m^2\) luôn không âm và \(m^2 + 3\) sẽ lớn hơn 0. Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

b) **Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(x_1 + 2x_2 = 8\)**:

Để giải phương trình trên, ta cần tìm nghiệm của phương trình ban đầu, sau đó sử dụng kết quả để giải phương trình đã cho.

Đầu tiên, giải phương trình bậc hai ban đầu:
\[x^2 - 4x - m^2 + 1 = 0\]

Áp dụng công thức Viết cho phương trình bậc hai:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Trong đó:
\[a = 1\]
\[b = -4\]
\[c = -m^2 + 1\]
\[\Delta = 4m^2 + 12\]

Thay các giá trị vào công thức ta có:
\[x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4m^2 + 12}}{2}\]
\[= 2 \pm \frac{\sqrt{4m^2 + 12}}{2}\]
\[= 2 \pm \frac{\sqrt{4(m^2 + 3)}}{2}\]
\[= 2 \pm \sqrt{m^2 + 3}\]

Khi đó:
\[x_1 + 2x_2 = (2 - \sqrt{m^2 + 3}) + 2(2 + \sqrt{m^2 + 3})\]
\[= 2 - \sqrt{m^2 + 3} + 4 + 2\sqrt{m^2 + 3}\]
\[= 6 + \sqrt{m^2 + 3}\]

Điều kiện \(x_1 + 2x_2 = 8\) sẽ tương đương với:
\[6 + \sqrt{m^2 + 3} = 8\]
\[\sqrt{m^2 + 3} = 2\]
\[m^2 + 3 = 4\]
\[m^2 = 1\]
\[m = \pm 1\]

Vậy, tất cả các giá trị của \(m\) để \(x_1 + 2x_2 = 8\) là \(m = \pm 1\).

...Xem thêm

Answer 2