a) Các cạnh của tam giác ABC:

- AB=AD𝐴𝐵=𝐴𝐷 (do AD=AB𝐴𝐷=𝐴𝐵)

- AC>AB𝐴𝐶>𝐴𝐵 (vì AC𝐴𝐶 là cạnh huyền của tam giác vuông ABC𝐴𝐵𝐶)

- BC=BC𝐵𝐶=𝐵𝐶 (cạnh chung)

Vậy ta có: AC>AB=AD=BC𝐴𝐶>𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐶.

b) Để chứng minh ba điểm D𝐷, I𝐼, K𝐾 thẳng hàng, ta cần chứng minh K𝐾 là trung điểm của DE𝐷𝐸, vì I𝐼 là giao điểm của AC𝐴𝐶 và BE𝐵𝐸, K𝐾 là hình chiếu của I𝐼 trên BC𝐵𝐶, nên K𝐾 là trung điểm của DE𝐷𝐸 (vì DE𝐷𝐸 song song và bằng đôi một với BC𝐵𝐶). Vì vậy, ba điểm D𝐷, I𝐼, K𝐾 thẳng hàng.

c) Để I𝐼 là trọng tâm tam giác BCD𝐵𝐶𝐷, thì IB𝐼𝐵 phải bằng IC𝐼𝐶 và DI𝐷𝐼 phải bằng 2IK2𝐼𝐾.

Ta có:

- IB=IC𝐼𝐵=𝐼𝐶 (vì I𝐼 là giao điểm của AC𝐴𝐶 và BE𝐵𝐸, nên nằm trên đoạn BE𝐵𝐸)

- DI=2IK𝐷𝐼=2𝐼𝐾 (do K𝐾 là trung điểm của DE𝐷𝐸)

Vậy điều kiện để I𝐼 là trọng tâm của tam giác BCD𝐵𝐶𝐷 là IB=IC𝐼𝐵=𝐼𝐶 và DI=2IK𝐷𝐼=2𝐼𝐾.

a. So sánh các cạnh của tam giác ABC:
Ta có tam giác ABC vuông tại A, với góc B bằng 60 độ. Theo đề bài, ta biết AD = AB và góc B vuông góc với CD tại E.
Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
- AB = AD (theo điều kiện đề bài)
- Góc B = 60 độ
- Góc A = 90 độ
Do đó, ta có tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A (với AB = AD) và góc B = 60 độ. Các cạnh của tam giác ABC sẽ có quan hệ như sau:
AB = AD < AC (do AB = AD < AC)
AB = AD = BC (do tam giác ABC vuông cân tại A)
Vậy, ta có AB = AD = BC và AC > AB = AD = BC.

b. Chứng minh ba điểm D, I, K thẳng hàng:
Ta có:
- Góc B = 60 độ
- Góc A = 90 độ
- Góc C = 30 độ (vì tổng các góc trong tam giác bằng 180 độ)
Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A nên ta có góc BAC = góc BCA = 45 độ.
Do đó, ta có tam giác ABC là tam giác cân và cũng là tam giác đều với cả ba cạnh bằng nhau.
Khi đó, ta có I là trung điểm của AC và K là trung điểm của BC.
Vì I là trung điểm của AC nên IK song song với DE (vì DE là hình chiếu của I trên BC).
Vì DE vuông góc với BC nên IK cũng vuông góc với BC.
Vậy, ba điểm D, I, K thẳng hàng.

c.ko bt lm

a) Các cạnh của tam giác ABC:

- AB=AD𝐴𝐵=𝐴𝐷 (do AD=AB𝐴𝐷=𝐴𝐵)

- AC>AB𝐴𝐶>𝐴𝐵 (vì AC𝐴𝐶 là cạnh huyền của tam giác vuông ABC𝐴𝐵𝐶)

- BC=BC𝐵𝐶=𝐵𝐶 (cạnh chung)

Vậy ta có: AC>AB=AD=BC𝐴𝐶>𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐵𝐶.

b) Để chứng minh ba điểm D𝐷, I𝐼, K𝐾 thẳng hàng, ta cần chứng minh K𝐾 là trung điểm của DE𝐷𝐸, vì I𝐼 là giao điểm của AC𝐴𝐶 và BE𝐵𝐸, K𝐾 là hình chiếu của I𝐼 trên BC𝐵𝐶, nên K𝐾 là trung điểm của DE𝐷𝐸 (vì DE𝐷𝐸 song song và bằng đôi một với BC𝐵𝐶). Vì vậy, ba điểm D𝐷, I𝐼, K𝐾 thẳng hàng.

c) Để I𝐼 là trọng tâm tam giác BCD𝐵𝐶𝐷, thì IB𝐼𝐵 phải bằng IC𝐼𝐶 và DI𝐷𝐼 phải bằng 2IK2𝐼𝐾.

Ta có:

- IB=IC𝐼𝐵=𝐼𝐶 (vì I𝐼 là giao điểm của AC𝐴𝐶 và BE𝐵𝐸, nên nằm trên đoạn BE𝐵𝐸)

- DI=2IK𝐷𝐼=2𝐼𝐾 (do K𝐾 là trung điểm của DE𝐷𝐸)

Vậy điều kiện để I𝐼 là trọng tâm của tam giác BCD𝐵𝐶𝐷 là IB=IC𝐼𝐵=𝐼𝐶 và DI=2IK𝐷𝐼=2𝐼𝐾.