Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

**Câu 13 (1,0 điểm):** Giải hệ phương trình sau:

\( \begin{cases} 2x + y = 3 \\ x - 2y = -1 \end{cases} \)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp loại trừ hoặc thế.

Thêm phương trình thứ nhất với phương trình thứ hai, ta có:

\( (2x + y) + (x - 2y) = 3 + (-1) \)

\( 3x - y = 2 \)

Suy ra: \( y = 3x - 2 \) (1)

Thay (1) vào phương trình thứ nhất, ta có:

\( 2x + (3x - 2) = 3 \)

\( 5x - 2 = 3 \)

\( 5x = 5 \)

\( x = 1 \)

Thay \( x = 1 \) vào (1), ta có:

\( y = 3 \times 1 - 2 \)

\( y = 1 \)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \( x = 1 \) và \( y = 1 \).

---

**Câu 14 (2,5 điểm):**

a) Giải phương trình \( x^2 - 2x + n - 3 = 0 \) khi \( n = 0 \):

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

\( (x - 3)(x + 1) = 0 \)

\( x = 3 \) hoặc \( x = -1 \)

b) Tìm các giá trị của \( m \) để phương trình \( x^2 - 2x + n - 3 = 0 \) có nghiệm.

Theo định lý Vi-et, tổng của các nghiệm của phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) là \( \frac{-b}{a} \).

Trong trường hợp này, tổng của các nghiệm là \( 2 \), vì vậy:

\( \frac{-(-2)}{1} = 2 \)

Vậy, \( n - 3 = 2 \) hay \( n = 5 \).

c) Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P = x_{1}^2 + x_{2}^2 + (x_{1}x_{2})^2 \) khi phương trình có hai nghiệm \( x_{1} \) và \( x_{2} \), ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( x_{1}^2 + x_{2}^2 + (x_{1}x_{2})^2 \).

Nhận xét rằng \( P = (x_{1} + x_{2})^2 \geq 0 \) với mọi giá trị của \( x_{1} \) và \( x_{2} \).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( 0 \).

---

**Câu 15 (3,5 điểm):**

a) Để chứng minh tứ giác \( MBOC \) nội tiếp, ta cần chứng minh rằng góc \( MBO \) + góc \( MCO = 180^\circ \) (góc ở tâm và góc nội tiếp).

Vì \( MB \) và \( MC \) là tiếp tuyến với đường tròn, nên góc \( MBO \) và \( MCO \) là góc phụ của góc ngoại tiếp \( BMC \).

Vậy, tứ giác \( MBOC \) nội tiếp.

b) Chứng minh \( MB^2 = ME \cdot MF \):

Do \( MBOC \) nội tiếp nên ta có \( MB \cdot MC = ME \cdot MF \) (định lý cung đối).

Nhưng \( MC \) là tiếp tuyến nên \( MC^2 = ME \cdot MF \).

Nhưng \( MB = MC \) (bán kính), nên \( MB^2 = MC^2 = ME \cdot MF \).

c) Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( MH \):

Vì \( BC \) là tiếp tuyến nên theo nguyên lý đối xứng với góc ở tâm, ta có \( \angle BMC = 90^\circ \).

Do đó, \( MH \) là đường cao của tam giác \( BMC \).

Vậy, \( I \) là trung điểm của \( MH \).

...Xem thêm

Answer 2