Để tìm giá trị lớn nhất của $P$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp giải tích hợp, bao gồm việc tìm cực trị và kiểm tra giá trị cực đại tại các giới hạn của $x$.

Đầu tiên, ta giải phương trình $P$ để tìm các điểm cực trị.

Đặt $f(x) = (3 - \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1})(3 + \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1})$, ta có:
$f(x) = (3 - \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1})(3 + \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1})$

$= (3 - \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1})(3 + \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1})$

$= (3 - \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1})(3 + \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1})$

$= (3 - \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1})(3 + \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1})$

$= \frac{(3\sqrt{x} - x - 1)(3\sqrt{x} + x - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)}$

$= \frac{(3\sqrt{x} - x - 1)(3\sqrt{x} + x - 1)}{x - 1}$

$= \frac{9x - x^2 - 9\sqrt{x} - 3\sqrt{x} + x + 3\sqrt{x} + x^2 - x - 3}{x - 1}$

$= \frac{7x - 6\sqrt{x} - 3}{x - 1}$

Tiếp theo, ta sẽ tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $f'(x) = 0$:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\frac{7x - 6\sqrt{x} - 3}{x - 1})$

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm phức tạp, ta tính được đạo hàm:
$f'(x) = \frac{(7x - 6\sqrt{x} - 3)'(x - 1) - (7x - 6\sqrt{x} - 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2}$

$= \frac{(7 - \frac{3}{\sqrt{x}})(x - 1) - (7x - 6\sqrt{x} - 3)}{(x - 1)^2}$

$= \frac{7x - 7 - 3 + 3\sqrt{x} - 7x + 6\sqrt{x} + 3}{(x - 1)^2}$

$= \frac{3\sqrt{x} - 4}{(x - 1)^2}$

Tiếp theo, giải phương trình $f'(x) = 0$ để tìm các điểm cực trị:
$\frac{3\sqrt{x} - 4}{(x - 1)^2} = 0$

$3\sqrt{x} - 4 = 0$

$3\sqrt{x} = 4$

$\sqrt{x} = \frac{4}{3}$

$x = \frac{16}{9}$

Tiếp theo, để kiểm tra liệu đó là một điểm cực trị cực đại hay không, ta sử dụng kiểm tra 2nd Derivative Test. Để làm điều này, ta cần tính đạo hàm bậc hai $f''(x)$:
$f''(x) = \frac{d}{dx}(\frac{3\sqrt{x} - 4}{(x - 1)^2})$

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm phức tạp, ta tính được đạo hàm bậc hai:
$f''(x) = \frac{(3\sqrt{x} - 4)''(x - 1)^2 - (3\sqrt{x} - 4)((x - 1)^2)'}{(x - 1)^4}$

$= \frac{(3\sqrt{x})''(x - 1)^2 - 2(3\sqrt{x} - 4)((x - 1)^2)'}{(x - 1)^4}$

$= \frac{(3\sqrt{x})''(x - 1)^2 - 2(3\sqrt{x} - 4)(2(x - 1))}{(x - 1)^4}$

$= \frac{(3\sqrt{x})''(x - 1)^2 - 4(3\sqrt{x} - 4)(x - 1)}{(x - 1)^4}$

$= \frac{(3\sqrt{x})''(x - 1)^2 - 4(3\sqrt{x} - 4)(x - 1)}{(x - 1)^4}$

$= \frac{(3\sqrt{x})''(x - 1)^2 - 4(3\sqrt{x}) - 4(- 4)(x - 1)}{(x - 1)^4}$

$= \frac{(3\sqrt{x})''(x - 1)^2 - 12\sqrt{x} + 16(x - 1)}{(x - 1)^4}$

$= \frac{(3(\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}})''(x - 1)^2 - 12\sqrt{x} + 16(x - 1)}{(x - 1)^4}$

$= \frac{(3(\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}})''(x - 1)^2 - 12\sqrt{x} + 16x - 16}{(x - 1)^4}$

\[ = \frac{-\frac{3}{4}x^{-\frac{3}{2}}(x - 1)^2 - 12\sqrt{x} + 16x - 16}{