Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để rút gọn và tìm giá trị của \( a \), ta sẽ giải quyết từng bước một:

Bước 1: Rút gọn \( A \):
\[ A = \frac{1}{2 + 2\sqrt{a}} + \frac{1}{2 - 2\sqrt{a}} - \frac{a^2 + 1}{1 - a^2} \]

Đặt \( x = \sqrt{a} \), ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
\[ A = \frac{1}{2 + 2x} + \frac{1}{2 - 2x} - \frac{x^4 + 1}{1 - x^2} \]

\[ A = \frac{1}{2(1 + x)} + \frac{1}{2(1 - x)} - \frac{x^4 + 1}{1 - x^2} \]

\[ A = \frac{1 - x + 1 + x}{2(1 - x^2)} - \frac{x^4 + 1}{1 - x^2} \]

\[ A = \frac{2}{2(1 - x^2)} - \frac{x^4 + 1}{1 - x^2} \]

\[ A = \frac{2 - 2x^4 - 2}{1 - x^2} \]

\[ A = \frac{-2x^4}{1 - x^2} \]

\[ A = \frac{-2x^4}{(1 - x)(1 + x)} \]

\[ A = \frac{-2x^4}{1 - x^2} \]

Bước 2: Tìm giá trị của \( a \) sao cho \( A < \frac{1}{3} \):

\[ \frac{-2x^4}{1 - x^2} < \frac{1}{3} \]

\[ -6x^4 < 1 - x^2 \]

\[ 6x^4 - x^2 - 1 > 0 \]

Bước 3: Giải phương trình bậc 4:
Đặt \( y = x^2 \), ta có:
\[ 6y^2 - y - 1 > 0 \]

Ta có:
\[ \Delta = (-1)^2 - 4(6)(-1) = 1 + 24 = 25 \]

\[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2(6)} \]

\[ y = \frac{1 \pm 5}{12} \]

\[ y_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]

\[ y_2 = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} \]

Với \( y_1 = \frac{1}{2} \), ta có:
\[ x^2 = \frac{1}{2} \]

\[ x = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

\[ a = \frac{1}{2} \]

Với \( y_2 = -\frac{1}{3} \), ta có:
\[ x^2 = -\frac{1}{3} \]

Vì không thể có giá trị âm cho \( x \), nên \( y_2 \) không hợp lệ.

Vậy giá trị của \( a \) là \( \frac{1}{2} \) để \( A < \frac{1}{3} \).

...Xem thêm

Answer 2

Để rút gọn và tìm giá trị của \( a \), ta sẽ giải quyết từng bước một:

Bước 1: Rút gọn \( A \):
\[ A = \frac{1}{2 + 2\sqrt{a}} + \frac{1}{2 - 2\sqrt{a}} - \frac{a^2 + 1}{1 - a^2} \]

Đặt \( x = \sqrt{a} \), ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
\[ A = \frac{1}{2 + 2x} + \frac{1}{2 - 2x} - \frac{x^4 + 1}{1 - x^2} \]

\[ A = \frac{1}{2(1 + x)} + \frac{1}{2(1 - x)} - \frac{x^4 + 1}{1 - x^2} \]

\[ A = \frac{1 - x + 1 + x}{2(1 - x^2)} - \frac{x^4 + 1}{1 - x^2} \]

\[ A = \frac{2}{2(1 - x^2)} - \frac{x^4 + 1}{1 - x^2} \]

\[ A = \frac{2 - 2x^4 - 2}{1 - x^2} \]

\[ A = \frac{-2x^4}{1 - x^2} \]

\[ A = \frac{-2x^4}{(1 - x)(1 + x)} \]

\[ A = \frac{-2x^4}{1 - x^2} \]

Bước 2: Tìm giá trị của \( a \) sao cho \( A < \frac{1}{3} \):

\[ \frac{-2x^4}{1 - x^2} < \frac{1}{3} \]

\[ -6x^4 < 1 - x^2 \]

\[ 6x^4 - x^2 - 1 > 0 \]

Bước 3: Giải phương trình bậc 4:
Đặt \( y = x^2 \), ta có:
\[ 6y^2 - y - 1 > 0 \]

Ta có:
\[ \Delta = (-1)^2 - 4(6)(-1) = 1 + 24 = 25 \]

\[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2(6)} \]

\[ y = \frac{1 \pm 5}{12} \]

\[ y_1 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]

\[ y_2 = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3} \]

Với \( y_1 = \frac{1}{2} \), ta có:
\[ x^2 = \frac{1}{2} \]

\[ x = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

\[ a = \frac{1}{2} \]

Với \( y_2 = -\frac{1}{3} \), ta có:
\[ x^2 = -\frac{1}{3} \]

Vì không thể có giá trị âm cho \( x \), nên \( y_2 \) không hợp lệ.

Vậy giá trị của \( a \) là \( \frac{1}{2} \) để \( A < \frac{1}{3} \).

1 câu trả lời 156

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9