Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Áp dụng định lý Cauchy-Schwarz, ta có:

`(1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1))((2ab + 1) + (2bc + 1) + (2ac + 1)) ≥ (1 + 1 + 1)^2`

<=>`(1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1))(2(ab + bc + ac) + 3) ≥ 9`

<=>`(1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1)) ≥ 9/(2(ab + bc + ac) + 3)`

Với a + b + c = 3, ta có ab + bc + ac ≤ 3, do đó:

`(1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1)) ≥ 9/(2.3 + 3) = 9/9 = 1`

Answer 2

Dịch sang tiếng Việt
Chứng minh:

Bất đẳng thức AM-GM:
Ta sẽ sử dụng Bất đẳng thức AM-GM (Trung bình cộng - Trung bình nhân) cho các số thực không âm x và y:

(x + y) / 2 ≥ √(xy)

Áp dụng AM-GM:
Để việc chứng minh dễ dàng hơn, ta đặt:

p = 2ab + 1
q = 2bc + 1
r = 2ac + 1
Ta biết a + b + c = 3, vậy 2(a + b + c) = 6. Điều này suy ra:

2a + 2b + 2c = 6
ab + ac + bc = 3
Áp dụng AM-GM cho từng số hạng:
Số hạng đầu tiên: Áp dụng AM-GM cho p và 1:

(p + 1) / 2 ≥ √(p * 1)
p/2 + 1/2 ≥ √p
Số hạng thứ hai: Áp dụng AM-GM cho q và 1:

(q + 1) / 2 ≥ √(q * 1)
q/2 + 1/2 ≥ √q
Số hạng thứ ba: Áp dụng AM-GM cho r và 1:

(r + 1) / 2 ≥ √(r * 1)
r/2 + 1/2 ≥ √r
Kết hợp các bất đẳng thức:
Cộng các bất đẳng thức thu được cho p, q và r, ta có:

(p/2 + q/2 + r/2) + 3/2 ≥ √p + √q + √r

Thay thế các định nghĩa:
Thay thế các định nghĩa của p, q và r:

(2ab + 1)/2 + (2bc + 1)/2 + (2ac + 1)/2 + 3/2 ≥ √(2ab + 1) + √(2bc + 1) + √(2ac + 1)

Đơn giản hóa hai vế:

1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1) + 3/2 ≥ √(2ab + 1) + √(2bc + 1) + √(2ac + 1)

Bình phương hai vế:
Bình phương hai vế để loại bỏ căn thức (lưu ý rằng bình phương hai vế sẽ tạo ra thêm các số hạng, nhưng những số hạng này sẽ không ảnh hưởng đến chiều của bất đẳng thức):

[1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1)]^2 + 3 + 6 * [1/(2ab + 1) * 1/(2bc + 1) + 1/(2bc + 1) * 1/(2ac + 1) + 1/(2ac + 1) * 1/(2ab + 1)] ≥ 2ab + 2bc + 2ac + 3

Đơn giản hóa:
Sau khi đơn giản hóa vế trái (LHS) và vế phải (RHS) bằng các phép toán đại số, bạn sẽ thu được:

4 * [(a + b)(b + c)(c + a) + 1] / [(2ab + 1)(2bc + 1)(2ac + 1)] ≥ 6ab + 6bc + 6ac + 3

Phân tích nhân tử:
Lưu ý rằng tử số ở vế trái có thể phân tích nhân tử bằng cách sử dụng phương pháp tổng hiệu:

(a + b)(b + c)(c + a) + 1 = (abc + a + b + c) + 1 = (abc + 1) + 4

Thay thế a + b + c = 3:
Ta biết a + b + c = 3, nên thay thế giá trị này:

4 * [(abc + 1) + 4] / [(2ab + 1)(2bc + 1)(2ac + 1)] ≥ 6ab + 6bc + 6ac + 3

...Xem thêm

Answer 3