Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta sử dụng định lý Cauchy-Schwarz.

Với a, b, c > 0 và a + b + c = 3, ta cần chứng minh rằng:

1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1) ≥ 2/(abc + 1)

Áp dụng định lý Cauchy-Schwarz, ta có:

(1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1))((2ab + 1) + (2bc + 1) + (2ac + 1)) ≥ (1 + 1 + 1)^2

Tương đương với:

(1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1))(2(ab + bc + ac) + 3) ≥ 9

Tiếp tục rút gọn ta được:

(1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1)) ≥ 9/(2(ab + bc + ac) + 3)

Với a + b + c = 3, ta có ab + bc + ac ≤ 3, do đó:

(1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1)) ≥ 9/(2*3 + 3) = 9/9 = 1

Answer 2

Để chứng minh bất đẳng thức đã cho, ta sử dụng định lý Cauchy-Schwarz.

Với a, b, c > 0 và a + b + c = 3, ta cần chứng minh rằng:

1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1) ≥ 2/(abc + 1)

Áp dụng định lý Cauchy-Schwarz, ta có:

(1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1))((2ab + 1) + (2bc + 1) + (2ac + 1)) ≥ (1 + 1 + 1)^2

Tương đương với:

(1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1))(2(ab + bc + ac) + 3) ≥ 9

Tiếp tục rút gọn ta được:

(1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1)) ≥ 9/(2(ab + bc + ac) + 3)

Với a + b + c = 3, ta có ab + bc + ac ≤ 3, do đó:

(1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1)) ≥ 9/(2*3 + 3) = 9/9 = 1

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Answer 3

Chứng minh bất đẳng thức:
Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3, chứng minh:

1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1) ≥ 2/(abc + 1)

Cách 1: Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

- Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho các số thực dương:

√(2ab + 1) . √(1/(2ab + 1)) ≥ (1 + 1/2ab)

⇒ √(2ab + 1) ≥ 3/√(2ab + 1)

⇒ 2ab + 1 ≥ 9/(2ab + 1)

⇒ 3/(2ab + 1) ≥ 1/3

Tương tự:

1/(2bc + 1) ≥ 1/3

1/(2ac + 1) ≥ 1/3

Cộng vế theo vế các BĐT trên, ta được:

1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1) ≥ 1

- Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho các số thực dương:

√(abc + 1) . √(1/(abc + 1)) ≥ (1 + 1/abc)

⇒ √(abc + 1) ≥ 2/√(abc + 1)

⇒ abc + 1 ≥ 4/(abc + 1)

⇒ 2/(abc + 1) ≥ 1/2

Cộng vế theo vế hai BĐT trên, ta được:

1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1) ≥ 2/(abc + 1)

Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương:

- Biến đổi vế trái:

VT = 1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1)

= (abc + 1)/(2ab(abc + 1) + 2bc(abc + 1) + 2ac(abc + 1))

= (abc + 1)/2abc(a + b + c) + 2(ab + bc + ac)

= (abc + 1)/2abc.3 + 2(ab + bc + ac)

= (abc + 1)/6abc + (ab + bc + ac)

- Biến đổi vế phải:

VP = 2/(abc + 1)

= (2abc)/(abc(abc + 1))

= (2abc)/a^2bc + b^2ac + c^2ab + 2abc

- Ta cần chứng minh:

(abc + 1)/6abc + (ab + bc + ac) ≥ (2abc)/a^2bc + b^2ac + c^2ab + 2abc

⇔ 6(abc + 1) + 6(ab + bc + ac) ≥ 12abc

⇔ 6abc + 6 + 6ab + 6bc + 6ac ≥ 12abc

⇔ 6(ab + bc + ac) ≥ 6abc

⇔ ab + bc + ac ≥ abc

- BĐT này hiển nhiên đúng theo BĐT AM-GM:

ab + bc + ac ≥ 3√(abc.abc) = 3abc

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

...Xem thêm

Answer 4

Chứng minh bất đẳng thức:
Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3, chứng minh:

1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1) ≥ 2/(abc + 1)

Cách 1: Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

- Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho các số thực dương:

√(2ab + 1) . √(1/(2ab + 1)) ≥ (1 + 1/2ab)

⇒ √(2ab + 1) ≥ 3/√(2ab + 1)

⇒ 2ab + 1 ≥ 9/(2ab + 1)

⇒ 3/(2ab + 1) ≥ 1/3

Tương tự:

1/(2bc + 1) ≥ 1/3

1/(2ac + 1) ≥ 1/3

Cộng vế theo vế các BĐT trên, ta được:

1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1) ≥ 1

- Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz cho các số thực dương:

√(abc + 1) . √(1/(abc + 1)) ≥ (1 + 1/abc)

⇒ √(abc + 1) ≥ 2/√(abc + 1)

⇒ abc + 1 ≥ 4/(abc + 1)

⇒ 2/(abc + 1) ≥ 1/2

Cộng vế theo vế hai BĐT trên, ta được:

1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1) ≥ 2/(abc + 1)

Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương:

- Biến đổi vế trái:

VT = 1/(2ab + 1) + 1/(2bc + 1) + 1/(2ac + 1)

= (abc + 1)/(2ab(abc + 1) + 2bc(abc + 1) + 2ac(abc + 1))

= (abc + 1)/2abc(a + b + c) + 2(ab + bc + ac)

= (abc + 1)/2abc.3 + 2(ab + bc + ac)

= (abc + 1)/6abc + (ab + bc + ac)

- Biến đổi vế phải:

VP = 2/(abc + 1)

= (2abc)/(abc(abc + 1))

= (2abc)/a^2bc + b^2ac + c^2ab + 2abc

- Ta cần chứng minh:

(abc + 1)/6abc + (ab + bc + ac) ≥ (2abc)/a^2bc + b^2ac + c^2ab + 2abc

⇔ 6(abc + 1) + 6(ab + bc + ac) ≥ 12abc

⇔ 6abc + 6 + 6ab + 6bc + 6ac ≥ 12abc

⇔ 6(ab + bc + ac) ≥ 6abc

⇔ ab + bc + ac ≥ abc

- BĐT này hiển nhiên đúng theo BĐT AM-GM:

ab + bc + ac ≥ 3√(abc.abc) = 3abc

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

3 câu trả lời 272

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9