Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a)

\hat{MDN} = 90 ° \hat{MEN} = \hat{BEN} = 90 ° \Rightarrow \hat{MDN} + \hat{MEN} = 90 ° + 90 ° = 180 °

Mà chúng ở vị trí đối nhau,cùng nhìn MN một góc vuông

nên tứ giác MDNE nội tiếp đường tròn.

Xét tam giác BEN có :

$\hat{BEN} = 90 °$

Mặt khác:

EB=EN( Đoạn thẳng chắn hai góc bằng nhau)

Vậy tam giác BEN là tam giác vuông cân tại E.

b)

Ta có:

$\hat{BIN} = 90 °$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒BI⊥MN

Mặt khác :

NE⊥MB

vì $\hat{BEN} = 90 °$ (cmt)

=> H là trực tâm của tam giác BMN.

Vậy: MH⊥BN

Do N là trung điểm CD(theo giả thiết
nên ΔBCN=ΔBIN

→ $\hat{IBN} = \hat{CBN}$

Lại có:

$\hat{CBN} = \hat{CEN}$ ( Vì hai góc nội tiếp cùng chắc cung CN)

Suy ra: $\hat{IBN} = \hat{CEN}$

Xét tứ giác EBFH có :

$\hat{HBF} = \hat{HEF}$

Mà hai góc này có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh HF

Vậy tứ giác EBFH nội tiếp đường tròn.

$\Rightarrow \hat{HFB} + \hat{HEB} = 180 ° Mà \hat{HEB} = 90 ° nên \hat{HFB} = 90 ° hay HF ⊥ BN$

Mà MH⊥BN nên ba điểm M,H,Fthẳng hàng.

...Xem thêm

Answer 2

a)

\hat{MDN} = 90 ° \hat{MEN} = \hat{BEN} = 90 ° \Rightarrow \hat{MDN} + \hat{MEN} = 90 ° + 90 ° = 180 °

Mà chúng ở vị trí đối nhau,cùng nhìn MN một góc vuông

nên tứ giác MDNE nội tiếp đường tròn.

Xét tam giác BEN có :

$\hat{BEN} = 90 °$

Mặt khác:

EB=EN( Đoạn thẳng chắn hai góc bằng nhau)

Vậy tam giác BEN là tam giác vuông cân tại E.

b)

Ta có:

$\hat{BIN} = 90 °$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒BI⊥MN

Mặt khác :

NE⊥MB

vì $\hat{BEN} = 90 °$ (cmt)

=> H là trực tâm của tam giác BMN.

Vậy: MH⊥BN

Do N là trung điểm CD(theo giả thiết
nên ΔBCN=ΔBIN

→ $\hat{IBN} = \hat{CBN}$

Lại có:

$\hat{CBN} = \hat{CEN}$ ( Vì hai góc nội tiếp cùng chắc cung CN)

Suy ra: $\hat{IBN} = \hat{CEN}$

Xét tứ giác EBFH có :

$\hat{HBF} = \hat{HEF}$

Mà hai góc này có hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh HF

Vậy tứ giác EBFH nội tiếp đường tròn.

$\Rightarrow \hat{HFB} + \hat{HEB} = 180 ° Mà \hat{HEB} = 90 ° nên \hat{HFB} = 90 ° hay HF ⊥ BN$

Mà MH⊥BN nên ba điểm M,H,Fthẳng hàng.

Answer 3

a) Để chứng minh rằng tứ giác MDNE nội tiếp, ta cần chứng minh rằng $\angle MNI = \angular CMD$ và $\angle MNE = \angle AMC$.

Với $\angle MNI = \angular CMD$, chúng ta chỉ cần lưu ý rằng $\triangle MNI$ và $\triangle CMD$ có chung góc $\angular MNI$ và chia sẻ cạnh $MN$. Vì $\triangle MNI$ là một tam giác 30-60-90 với cạnh huyền $MN$ nên $\angle MNI = 30^\circ$. Tương tự, $\angle CMD = 30^\circ$ (vì $\triangle CMD$ là một tam giác 30-60-90 với cạnh huyền $CD$ ). Do đó, $\angle MNI = \angular CMD$.

Với $\angle MNE = \angle AMC$, chúng ta cần lưu ý rằng $\triangle MNE$ và $\triangle AMC$ là đối xứng qua đường thẳng $MN$.Do đó, $\angle MNE$ và $\angle AMC$ bằng nhau.

Vì $\angle MNI = \angles CMD$ và $\angle MNE = \angles AMC$, tứ giác MDNE là nội tiếp.

b) Để chứng minh rằng tam giác IEF vuông tại I, chúng ta có thể sử dụng thực tế là $\angle MNI = \angular CMD$ và $\angle MNE = \angle AMC$.

Vì $\angle MNI = \angle CMD$, $\triangle MNI$ là một tam giác 30-60-90 với cạnh huyền $MN$.

Với $\angle MNE = \angle AMC$, chúng ta có thể kết luận tam giác $AEC$ là một tam giác vuông với cạnh huyền là $AC$ và chân $AE$ và $EC$.

Tam giác $AEI$ và tam giác $EC$ giống nhau vì chúng có cùng góc $30^\circ$ và chân chung $AE$. Do đó, cạnh huyền của tam giác $AEI$ là $AI$ và cạnh $AE$ dài $AC/2$. Do đó, $AI = (AC/2) / \sqrt{3}=(2\sqrt{3}/\sqrt{3}) / \sqrt{3}=2$.

Với $AI=2$, chúng ta có $\triangle AIE$ là một tam giác vuông có chân và cạnh huyền bằng 2. Do đó, góc đối diện $IE$ là $45^\circ$.

Vì $\angle MNE = \angle AMC$, $\triangle MNE$ là một tam giác vuông với chân $MN$ và $NE$ và cạnh huyền $IE$.

Tam giác $IEN$ là một tam giác vuông với chân $IE$ và $NE$ và cạnh huyền $IN$.

Do đó, tam giác $IEF$ là một tam giác vuông có chân $IE$ và $IF$ và cạnh huyền $IF$.

Vì $IE=2$ và $IN=\sqrt{2}$, chúng ta có thể kết luận rằng $IF=2\sqrt{2}$.

Với $BI = BC$, chúng ta có thể kết luận rằng $BH = HE$.

Do đó, ba điểm $M$, $H$ và $F$ thẳng hàng.

...Xem thêm

Answer 4