Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Chúng ta biết rằng trọng tâm chia trung tuyến của một tam giác theo tỷ lệ 2:1, bắt đầu từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện.

Vậy \(AG:GM = 2:1\).

Cho trước \(BM = 1,5 \text{cm}\).

Ta có \(MG = \frac{1}{3}BM = \frac{1}{3} \times 1,5 = 0,5 \text{cm}\)

\(AG = 2MG = 1 \text{cm}\).

Từ đỉnh \(B\), vẽ \(BD \perp AC\).

Gọi \(D\) là giao điểm của \(BO\) với \(AC\). Ta có \(BD = 2BG\) và \(GD = BG\).

Xét tam giác \(BDC\). \(G\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BD\), nên \(G\) là trung điểm của cung \(BC\) trên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BDC\).

Vậy, \(G\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BDC\). Khi \(A\) di chuyển, \(C\) cũng di chuyển nhưng \(BC\) vẫn cố định nên đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BDC\) cũng cố định.

Vậy \(G\) luôn thuộc một đường tròn cố định.

**Phần b:**

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Khi \(A\) di chuyển trên mặt phẳng, \(I\) không thay đổi vì \(BC\) cố định.

Xét tam giác \(ABC\). \(M\) là trung điểm của \(AC\), nên \(MB\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\).

Dựng đường tròn đi qua \(A\) và \(I\) với bán kính \(AI\).

Lúc này, \(M\) là trung điểm của \(AC\), nên \(A\) và \(C\) đối xứng qua \(M\). Vì vậy, đường tròn với tâm \(M\) và bán kính \(AM\) cũng đi qua \(C\).

\(B\), là trung điểm của cung \(AC\) nên \(AB\) và \(BC\) cùng cắt đường tròn tại \(I\). Do đó, \(A\), \(B\), \(C\), \(I\) cùng nằm trên một đường tròn.

Khi \(A\) di chuyển, \(B\) và \(I\) không di chuyển nên đường tròn đi qua \(A\), \(B\), và \(I\) không thay đổi.

Vậy, \(A\) luôn thuộc một đường tròn cố định.

...Xem thêm

Answer 2