Cho tam giác ABC vuông tại A trên cạnh AC lấy điểm D ( D khác A, D khác C) . Đường tròn tâm O đường kính DC cắt BC tại E

Trâm Anh

Đã trả lời bởi chuyên gia

· 12:00 07/08/2023

Đã trả lời bởi chuyên gia

Cho tam giác ABC vuông tại A trên cạnh AC lấy điểm D $(D \neq A, D \neq C)$ . Đường tròn tâm O đường kính DC cắt BC tại E $(E \neq C)$

a) Chứng minh tứ giác $A B E D$ nội tiếp

b) Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I Chứng minh ED là tia phân giác của $∠ A E I$

c, Giả sử $t a n A B C = \sqrt{2} .$ Tìm vị trí của D trên AC để là EA tiếp tuyến của đường tròn đường kính DC

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

2 năm trước

Dễ thấy $∠ D E C = 90 °, ∠ B A C = 90 °$

$\Rightarrow ∠ B A C + ∠ B E C = 180 ° \Rightarrow A B E D$ là tứ giác nội tiếp

b) Dễ dàng chứng minh được $A I C B$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow ∠ B_{1} = ∠ C_{1}$

Tứ giác $A B E D$ nội tiếp $\Rightarrow ∠ B_{1} = ∠ E_{1} (2)$

Tứ giác IDEC nội tiếp nên $∠ E_{2} = ∠ C_{1} (3)$

Từ $(1), (2), (3) \Rightarrow ∠ E_{1} = ∠ E_{2} \Rightarrow E D$ là tia phân giác của $∠ A E I$

c) Để EA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD thì $∠ E_{1} = ∠ C_{1} (1)$

Mà tứ giác ABED nội tiếp nên $∠ E_{1} = ∠ B_{1} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $∠ C_{1} = ∠ B_{1}$ mà $∠ B A D$ chung $\Rightarrow Δ A B D ∽ Δ A C B (g . g)$

$\Rightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A B} \Rightarrow A B^{2} = A C . A D \Rightarrow A D = \frac{A B^{2}}{A C} (1)$

Theo bài ra ta có: $\tan (A B C) = \frac{A C}{A B} = \sqrt{2} \Rightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{1}{\sqrt{2}} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $A D = \frac{A B}{\sqrt{2}}$

Vậy $A D = \frac{A B}{\sqrt{2}}$ thì EA là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?