Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Ta có: $\angle ABC = 60^{\circ}$ và $CH$ là đường cao của tam giác $ABC$, nên $AH = \frac{\sqrt{3}}{2}AB = \sqrt{3}R$ và $CH = \frac{AB}{2} = R$. Vì $K$ là trung điểm $AC$, nên $AK = CK = \frac{AB}{2} = R$. Suy ra tam giác $ACH$ là tam giác đều và $\angle ACH = 60^{\circ}$.

Mặt khác, do đường $BD$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $O$ tại $B$, nên $\angle BOD = 90^{\circ}$ và $BO = R$. Suy ra $\angle HBO = \angle HCO = 30^{\circ}$. Từ đó ta có:

\begin{align*} \angle HKO &= \angle HKB + \angle BKD + \angle DKO \\ &= \angle HCB + \angle BOD + \angle DCO \\ &= 30^{\circ} + 90^{\circ} + 30^{\circ} \\ &= 150^{\circ} = 360^{\circ} - \angle HCO. \end{align*}

Vậy tứ giác $CHOK$ là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có tam giác $BDC$ cân tại $B$ và $\angle BCD = \angle BAC = 90^{\circ} - \angle ABC = 30^{\circ}$. Suy ra $\angle BDC = 2\angle BCD = 60^{\circ}$. Gọi $E$ là điểm trên $BC$ sao cho $DE$ vuông góc với $BC$. Khi đó, $BE = BD = R$ và tam giác $BED$ cũng là tam giác đều. Vì $AC$ là đường phân giác của góc $\angle BAD$, nên ta có:

\begin{align*} \frac{AD}{CD} &= \frac{AB}{BC} \\ &= \frac{2R}{2R\sin\angle ABC} \\ &= \frac{2}{\sqrt{3}}. \end{align*}

Do đó, $AD = \frac{2}{\sqrt{3}} CD$ và ta cũng có:

\begin{align*} AC.AD &= AC\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)CD \\ &= \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}AC^2 \\ &= \frac{4}{3}AC^2. \end{align*}

Ta cũng thấy rằng $AC = 2R\sin \angle ABC = R\sqrt{3}$, suy ra $AC.AD = 4R^{2}$.

c) Gọi $S$ là diện tích của phần tam giác $ABD$ nằm ngoài đường tròn tâm $O$. Gọi $I$ là giao điểm của $OC$ và $BD$, khi đó ta sẽ tính được $SI$ và $OI$ dựa trên tỉ lệ đường cao trong tam giác $ODI$:

\begin{align*} \frac{SI}{OD} &= \cos (\angle SBD - \angle OBD) \\ &= \cos [(180^{\circ} - \angle ABD) - \angle OBD] \\ &= \cos (\angle OBD - \angle ABD) \\ &= \frac{OI}{AD} \\ &= \frac{R}{\sin \angle BOD} \end{align*}

Ở đây $\angle BOD=90^{\circ}$ nên $\sin\angle BOD = 1$, từ đó suy ra:

$SI = OD \cdot \frac{R}{\sin \angle BOD} = R\sqrt{2} \cdot R = R^{2}\sqrt{2}.$

Diện tích cần tìm là:

$S = S_{OAB} - S_{OBD} = \frac{1}{2}AB\cdot AO - \frac{1}{2}BD\cdot OD = \frac{R^{2}}{2} (\sqrt{3} - \sqrt{2}).$

...Xem thêm

Answer 2