a) Ta có $\angle A = 90^\circ$, nên ta có thể tính được độ dài các cạnh của tam giác ABC bằng định lý Pythagoras:

$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{40^2 - 30^2} = 10\sqrt{7}$

Vậy tỉ lệ độ dài các cạnh của tam giác ABC là:

$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{10\sqrt{7}}$

$\dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{10\sqrt{7}}$

Ta cũng có $AE \perp BC$, nên tam giác ABE cũng là tam giác vuông tại B. Do đó, ta có:

$\dfrac{AB}{AE} = \sin{\angle ABE}$

$\dfrac{AE}{AB} = \sin{\angle AEB}$

Vậy tỉ lệ độ dài các cạnh của tam giác ABE là:

$\dfrac{AB}{AE} = \dfrac{3}{5}$

$\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{4}{5}$

Do hai tam giác ABC và ABE có cùng một góc vuông tại B và hai cạnh góc kề tương ứng có tỉ số bằng nhau, nên ta có thể kết luận rằng hai tam giác này đồng dạng.

b) Ta có thể sử dụng định lí phân giác để tính độ dài các đoạn thẳng BD và AD:

$\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{4}$

Vậy $\dfrac{BD}{BD+CD} = \dfrac{3}{7}$ và $\dfrac{AD}{BD+CD} = \dfrac{4}{7}$.

Ta cũng có thể sử dụng định lí Ceva để tính độ dài các đoạn thẳng BD và AD:

$\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1$

Do $CE = AE - AC = AE - 40$, nên ta có:

$\dfrac{CE}{EA} = \dfrac{AE - 40}{AE} = 1 - \dfrac{40}{AE}$

Vậy $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{AE}{AE - 40} \cdot \dfrac{1}{\dfrac{AC}{AE}} = \dfrac{3}{4}$.

Do đó, ta có $BD = \dfrac{3}{7}(BD+CD)$ và $AD = \dfrac{4}{7}(BD+CD)$. Từ đó suy ra:

$BD \cdot EF = BD \cdot BF \cdot \sin{\angle EBF} = BD \cdot BF \cdot \sin{\angle ABD} = \dfrac{3}{7}(BD+CD) \cdot BF \cdot \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot BF \cdot AD = \dfrac{9}{28} \cdot BF \cdot AD$

Vậy $BD \cdot