Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Ta có:

Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó, ta có: OM vuông góc với AB và OM = CM/2.
Vì BE là đường cao của tam giác ABC, nên AM vuông góc với BE.
Do đó, AM vuông góc với (OEB).
Tương tự, AN vuông góc với (OFC).
Nhưng ta cũng có: AM = AN (vì đều thuộc đường tròn tâm O).
Do đó, AMAN là hình bình hành.
Khi đó, ta có: AH song song với MN và AH = MN.
Mặt khác, ta có: BM = MC, CN = NA.
Do đó, ta có: BH^2 - CH^2 = BM^2 - CN^2 = (BM + CN)(BM - CN) = BC.(BM - CN)
= BC.(BM + NA - MC) = BC.(AM - MC) = BC.CH

Tương tự, ta có: CH^2 - AH^2 = AB.BH
Từ đó suy ra: BH^2 - AH^2 = AB.BH - BC.CH
= BH.(AB - BC.cosA) (định lí Cosin trong tam giác ABC)

Do đó: BH^2 - AH^2 = BH.CH.sinA.
Nhưng ta cũng có: EF vuông góc với OH và EF = 2OM = BC.
Do đó, EF vuông góc với (OHB) và (OHC).
Từ đó suy ra: EF vuông góc với AH và BH.
Mặt khác, ta có: HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC.
Do đó, tứ giác AEHF là tứ giác điều hòa (do hai cặp đường chéo tương đương).
b) Ta có:

Gọi K' là giao điểm của HE và (O).
Khi đó, ta có: HK' vuông góc với HE và HK' = KE.
Từ đó suy ra: ∆K'HE đồng dạng với ∆KCH (cùng có hai góc bằng nhau).
Suy ra: KH/HE = CH/K'C
Nhưng ta cũng có: FB vuông góc với OH và FB = 2OM = BC.
Do đó, FB vuông góc với (OHB) và (OHC).
Từ đó suy ra: FB vuông góc với CH và BH.
Mặt khác, ta có: 2FB = BC = EF.
Do đó, tứ giác EFHK là tứ giác điều hòa (do hai cặp đường chéo tương đương).
Suy ra: FH/HE = EK/FK
Từ đó suy ra: 2FB.HE = EC.KH.

...Xem thêm

Answer 2

a) Ta có:

Gọi M là trung điểm của BC.
Khi đó, ta có: OM vuông góc với AB và OM = CM/2.
Vì BE là đường cao của tam giác ABC, nên AM vuông góc với BE.
Do đó, AM vuông góc với (OEB).
Tương tự, AN vuông góc với (OFC).
Nhưng ta cũng có: AM = AN (vì đều thuộc đường tròn tâm O).
Do đó, AMAN là hình bình hành.
Khi đó, ta có: AH song song với MN và AH = MN.
Mặt khác, ta có: BM = MC, CN = NA.
Do đó, ta có: BH^2 - CH^2 = BM^2 - CN^2 = (BM + CN)(BM - CN) = BC.(BM - CN)
= BC.(BM + NA - MC) = BC.(AM - MC) = BC.CH

Tương tự, ta có: CH^2 - AH^2 = AB.BH
Từ đó suy ra: BH^2 - AH^2 = AB.BH - BC.CH
= BH.(AB - BC.cosA) (định lí Cosin trong tam giác ABC)

Do đó: BH^2 - AH^2 = BH.CH.sinA.
Nhưng ta cũng có: EF vuông góc với OH và EF = 2OM = BC.
Do đó, EF vuông góc với (OHB) và (OHC).
Từ đó suy ra: EF vuông góc với AH và BH.
Mặt khác, ta có: HE vuông góc với AB và HF vuông góc với AC.
Do đó, tứ giác AEHF là tứ giác điều hòa (do hai cặp đường chéo tương đương).
b) Ta có:

Gọi K' là giao điểm của HE và (O).
Khi đó, ta có: HK' vuông góc với HE và HK' = KE.
Từ đó suy ra: ∆K'HE đồng dạng với ∆KCH (cùng có hai góc bằng nhau).
Suy ra: KH/HE = CH/K'C
Nhưng ta cũng có: FB vuông góc với OH và FB = 2OM = BC.
Do đó, FB vuông góc với (OHB) và (OHC).
Từ đó suy ra: FB vuông góc với CH và BH.
Mặt khác, ta có: 2FB = BC = EF.
Do đó, tứ giác EFHK là tứ giác điều hòa (do hai cặp đường chéo tương đương).
Suy ra: FH/HE = EK/FK
Từ đó suy ra: 2FB.HE = EC.KH.

1 câu trả lời 584

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9