Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh $A, O, B, I, M$ cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh $\angle AOM = \angle IBM$.

Gọi $E$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Ta có $AB \parallel MD$, do đó $\angle KAB = \angle MDC$.

Mặt khác, $MD$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $D$, nên $\angle MDC = \angle ODB$.

Vậy $\angle KAB = \angle ODB$.

Tương tự, ta có $\angle KBA = \angle ODA$.

Do đó, $\angle AOB = \angle KAB + \angle KBA = \angle ODB + \angle ODA = 2\angle ODM$.

Mặt khác, $\angle AOM = 180^\circ - \angle MOB = 180^\circ - 2\angle ODM$.

Vậy $\angle AOM = \angle IBM$, từ đó suy ra $A, O, B, I, M$ cùng thuộc một đường tròn.

Để chứng minh $IK$ là phân giác của $\angle AIB$, ta cần chứng minh $\dfrac{AK}{KB} = \dfrac{AI}{BI}$.

Ta có $\dfrac{AK}{KB} = \dfrac{AM}{BM} = \dfrac{OD}{BD}$ (do $OD \parallel AB$).

Mặt khác, $\dfrac{AI}{BI} = \dfrac{CI}{BI} = \dfrac{OD}{BD}$ (do $CI$ là đường cao của tam giác $CBD$).

Vậy $\dfrac{AK}{KB} = \dfrac{AI}{BI}$, từ đó suy ra $IK$ là phân giác của $\angle AIB$.

Để chứng minh $AM \cdot BI = AI \cdot BD$, ta có:

$AM \cdot BI = (AI + IM) \cdot BI = AI \cdot BI + IM \cdot BI$

$= AI \cdot BD + ID \cdot BI = AI \cdot BD + (IB - ID) \cdot BI$

$= AI \cdot BD + IB \cdot BD - ID \cdot BI = AI \cdot BD + IB \cdot BD - AI \cdot BI$

$= BD \cdot AB = AD \cdot DB = OD^2 - OB^2 = MD^2 - MB^2$

$= (MD + MB)(MD - MB) = MA \cdot MC = AI \cdot BD$

Do đó, $AM \cdot BI = AI \cdot BD$.

Cuối cùng, để chứng minh $OF \perp AB$, ta cần chứng minh $OF \parallel DE$.

Ta có $\angle ODE = \angle OAB$ (cùng chắn cung $OE$ trên đường tròn $(O)$), và $\angle EAB = \angle FAB = \angle FEB$ (do $DE \parallel AB$).

Do đó, $\angle OFE = \angle ODE = \angle OAB$, suy ra $OF \parallel AB$, hay $OF \perp AB$.

Vậy ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu đề bài.

...Xem thêm

Answer 2