Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh tứ giác $CIOD$ nội tiếp, ta cần chứng minh $\widehat{CID} = \widehat{COD}$.

Gọi $G$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Ta có:
$\widehat{CID} = \widehat{CIM} + \widehat{MID} = \widehat{CAM} + \widehat{MBD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABD}$
Tương tự, ta có:
$\widehat{COD} = \widehat{COM} + \widehat{MOD} = \widehat{CBM} + \widehat{MAD} = \widehat{CBD} + \widehat{BAD}$
Do đó, để chứng minh $\widehat{CID} = \widehat{COD}$, ta cần chứng minh rằng $\widehat{CAB} + \widehat{ABD} = \widehat{CBD} + \widehat{BAD}$.

Ta có $\widehat{CAB} = \widehat{CAM} = \widehat{CBM} = \widehat{CBD}$ (do $MC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$). Từ đó, ta có:
$\widehat{CAB} + \widehat{ABD} = \widehat{CBD} + \widehat{ABD} = \widehat{CBD} + \widehat{BAD}$
Vậy, ta đã chứng minh được tứ giác $CIOD$ nội tiếp.

Gọi $J$ là giao điểm của $OH$ và $AB$. Ta có $\widehat{OJM} = \widehat{OMJ} = \widehat{CAM}$ nên tam giác $OJM$ đồng dạng với tam giác $ACM$. Từ đó, ta có:
$\frac{OM}{AC} = \frac{OJ}{AJ}$
Do đó, ta có:
$OM \cdot AJ = OJ \cdot AC$
Tương tự, ta có:
$OH \cdot BJ = OI \cdot BC$
Nhân hai phương trình trên với nhau, ta được:
$(OM \cdot AJ) \cdot (OH \cdot BJ) = (OJ \cdot AC) \cdot (OI \cdot BC)$
Hay $AB \cdot OH \cdot OM \cdot BJ = AB \cdot OI \cdot OJ \cdot AC$. Do đó, ta có:
$\frac{OH \cdot OM}{OI \cdot OJ} = \frac{AC}{BJ}$
Từ đó, ta suy ra:
$\frac{OH}{OI} = \frac{AC \cdot OJ}{BJ \cdot OM}$
Nhưng $AC = BD$ nên ta có:
$\frac{OH}{OI} = \frac{BD \cdot OJ}{BJ \cdot OM}$
Do tứ giác $CIOD$ nội tiếp nên $\widehat{CID} = \widehat{COD}$ nên tam giác $CID$ đồng dạng với tam giác $COD$. Từ đó, ta có:
$\widehat{COD} = \widehat{COM} + \widehat{MOD} = \widehat{CBM} + \widehat{MAD} = \widehat{CBD} + \widehat{BAD}$ 0

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh tứ giác $CIOD$ nội tiếp, ta cần chứng minh $\widehat{CID} = \widehat{COD}$.

Gọi $G$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Ta có:
$\widehat{CID} = \widehat{CIM} + \widehat{MID} = \widehat{CAM} + \widehat{MBD} = \widehat{CAB} + \widehat{ABD}$
Tương tự, ta có:
$\widehat{COD} = \widehat{COM} + \widehat{MOD} = \widehat{CBM} + \widehat{MAD} = \widehat{CBD} + \widehat{BAD}$
Do đó, để chứng minh $\widehat{CID} = \widehat{COD}$, ta cần chứng minh rằng $\widehat{CAB} + \widehat{ABD} = \widehat{CBD} + \widehat{BAD}$.

Ta có $\widehat{CAB} = \widehat{CAM} = \widehat{CBM} = \widehat{CBD}$ (do $MC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$). Từ đó, ta có:
$\widehat{CAB} + \widehat{ABD} = \widehat{CBD} + \widehat{ABD} = \widehat{CBD} + \widehat{BAD}$
Vậy, ta đã chứng minh được tứ giác $CIOD$ nội tiếp.

Gọi $J$ là giao điểm của $OH$ và $AB$. Ta có $\widehat{OJM} = \widehat{OMJ} = \widehat{CAM}$ nên tam giác $OJM$ đồng dạng với tam giác $ACM$. Từ đó, ta có:
$\frac{OM}{AC} = \frac{OJ}{AJ}$
Do đó, ta có:
$OM \cdot AJ = OJ \cdot AC$
Tương tự, ta có:
$OH \cdot BJ = OI \cdot BC$
Nhân hai phương trình trên với nhau, ta được:
$(OM \cdot AJ) \cdot (OH \cdot BJ) = (OJ \cdot AC) \cdot (OI \cdot BC)$
Hay $AB \cdot OH \cdot OM \cdot BJ = AB \cdot OI \cdot OJ \cdot AC$. Do đó, ta có:
$\frac{OH \cdot OM}{OI \cdot OJ} = \frac{AC}{BJ}$
Từ đó, ta suy ra:
$\frac{OH}{OI} = \frac{AC \cdot OJ}{BJ \cdot OM}$
Nhưng $AC = BD$ nên ta có:
$\frac{OH}{OI} = \frac{BD \cdot OJ}{BJ \cdot OM}$
Do tứ giác $CIOD$ nội tiếp nên $\widehat{CID} = \widehat{COD}$ nên tam giác $CID$ đồng dạng với tam giác $COD$. Từ đó, ta có:
$\widehat{COD} = \widehat{COM} + \widehat{MOD} = \widehat{CBM} + \widehat{MAD} = \widehat{CBD} + \widehat{BAD}$ 0

1 câu trả lời 181

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9