Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đầu tiên, chúng ta có thể sử dụng tính chất đối xứng của hai tiếp tuyến đến đường tròn tại một điểm chéo nhau để suy ra rằng tam giác ABC là một tam giác vuông tại A. Thật vậy, theo định lý Euclid, hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn tại các điểm B và C là đối xứng với nhau qua đường trung trực của đoạn thẳng BC, vì vậy tam giác ABC có đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm M của đoạn thẳng BC. Do đó, ta có AM = BM = CM và AN = CN.

Tiếp theo, chúng ta có thể sử dụng tính chất của tứ giác điều hòa trên đường thẳng tại M để suy ra rằng hai đường thẳng AM và MN là đường đối xứng của nhau qua đường trung trực của đoạn thẳng BC. Thật vậy, ta có tứ giác đường thẳng BMNC là một tứ giác điều hòa trên đường thẳng tại M, do đó ta có

BM / MC = BN / NC.

Vì CN = AN, BM = AM, và CM = AM, ta có thể thay thế vào phương trình trên để tìm ra

BN / NC = AM / BM.

Do đó, AM / BM = BN / NC = CM / BN.

Kết hợp với điều kiện CM.BN = BM.CN, ta có

AM / BM = BN / NC = sqrt(CM.BN) / BM.

Do đó, ta có

BM^2 = CM.BN = AM.NM,

tức là tam giác ABM và tam giác AMN có hai cạnh BM và AM chung, và cạnh còn lại của tam giác ABM bằng với cạnh AMN. Vì vậy, hai tam giác này là hai tam giác đồng dạng và do đó ta có

∠BAM = ∠MAN,

tức là đường thẳng AM là đường phân giác của góc BAC.

...Xem thêm

Answer 2