Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Ta có:
∠OAB = ∠OBA (do OB = OA)
∠OAC = ∠OCA (do OC = OA)
Do đó, tứ giác ABOC là tứ giác điều hòa, suy ra tg ABOC nội tiếp.
Gọi P là giao điểm của BM và CN. Ta có:
∠BPC = 180° - ∠CPN (hai góc đối nhau trên cùng đường thẳng)
∠CPN = ∠CAN (tiếp tuyến chung của N và C)
∠CAN = ∠OAB (cùng cung AN)
Do đó, ∠BPC = 180° - ∠OAB.
Tương tự, ta có ∠BMC = 180° - ∠OAC.
Suy ra, tứ giác AMCP là tứ giác điều hòa, do đó I là trung điểm của PC.
Gọi Q là giao điểm của BK và OI. Ta có:
∠QBI = ∠OBC (cùng cung BC)
∠QIB = ∠OBI (cùng góc với OB)
Do đó, tam giác QBI đồng dạng với tam giác OBC.
Từ đó, ta có:
∠QCB = ∠QBI = ∠OBC
∠QBC = ∠QIB = ∠OBI
Do đó, tứ giác OBCQ là tứ giác điều hòa, suy ra I là trung điểm của BQ.
Vậy OI vuông góc với BK (do I là trung điểm của đoạn BQ).
Gọi D là giao điểm của AM và BC. Ta có:
∠OAM = ∠ODM (cùng góc ngoài tiếp)
∠OIM = ∠OIA (cùng góc ngoài tiếp)
Do đó, tam giác OIM đồng dạng với tam giác OIA.
Từ đó, ta có:
∠OIA = ∠OIM = ∠ODM
Do đó, tứ giác OMDC là tứ giác điều hòa, suy ra M, O, C, A, B cùng thuộc đường tròn.
b) Ta có:
∠HAI = ∠CAB (tiếp tuyến chung của A và đường tròn)
∠HAK = ∠ACB (tiếp tuyến chung của A và đường tròn)
Do đó, tam giác HAI đồng dạng với tam giác CAB, và tam giác HAK đồng dạng với tam giác ACB. Suy ra:
AI/AB = AH/AC và AK/AC = AB/BC
Từ đó, ta có:
AI/AB = (AH/AC) / (AB/BC) = (AH/AB) * (BC/AC) = (AH/AK) * (BC/AB)
Do đó:
AI/AB = (AH/AK) * (BC/AB)
Tương đương với:
AI * AB = AH * BC
Ta có:
∠AIM = ∠ABM (cùng cung AM)
∠ABM = ∠ACN (tiếp tuy

...Xem thêm

Answer 2

a) Ta có:
∠OAB = ∠OBA (do OB = OA)
∠OAC = ∠OCA (do OC = OA)
Do đó, tứ giác ABOC là tứ giác điều hòa, suy ra tg ABOC nội tiếp.
Gọi P là giao điểm của BM và CN. Ta có:
∠BPC = 180° - ∠CPN (hai góc đối nhau trên cùng đường thẳng)
∠CPN = ∠CAN (tiếp tuyến chung của N và C)
∠CAN = ∠OAB (cùng cung AN)
Do đó, ∠BPC = 180° - ∠OAB.
Tương tự, ta có ∠BMC = 180° - ∠OAC.
Suy ra, tứ giác AMCP là tứ giác điều hòa, do đó I là trung điểm của PC.
Gọi Q là giao điểm của BK và OI. Ta có:
∠QBI = ∠OBC (cùng cung BC)
∠QIB = ∠OBI (cùng góc với OB)
Do đó, tam giác QBI đồng dạng với tam giác OBC.
Từ đó, ta có:
∠QCB = ∠QBI = ∠OBC
∠QBC = ∠QIB = ∠OBI
Do đó, tứ giác OBCQ là tứ giác điều hòa, suy ra I là trung điểm của BQ.
Vậy OI vuông góc với BK (do I là trung điểm của đoạn BQ).
Gọi D là giao điểm của AM và BC. Ta có:
∠OAM = ∠ODM (cùng góc ngoài tiếp)
∠OIM = ∠OIA (cùng góc ngoài tiếp)
Do đó, tam giác OIM đồng dạng với tam giác OIA.
Từ đó, ta có:
∠OIA = ∠OIM = ∠ODM
Do đó, tứ giác OMDC là tứ giác điều hòa, suy ra M, O, C, A, B cùng thuộc đường tròn.
b) Ta có:
∠HAI = ∠CAB (tiếp tuyến chung của A và đường tròn)
∠HAK = ∠ACB (tiếp tuyến chung của A và đường tròn)
Do đó, tam giác HAI đồng dạng với tam giác CAB, và tam giác HAK đồng dạng với tam giác ACB. Suy ra:
AI/AB = AH/AC và AK/AC = AB/BC
Từ đó, ta có:
AI/AB = (AH/AC) / (AB/BC) = (AH/AB) * (BC/AC) = (AH/AK) * (BC/AB)
Do đó:
AI/AB = (AH/AK) * (BC/AB)
Tương đương với:
AI * AB = AH * BC
Ta có:
∠AIM = ∠ABM (cùng cung AM)
∠ABM = ∠ACN (tiếp tuy

1 câu trả lời 1670

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9