Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a. Ta có:

Vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên OM vuông góc với cả MA và MB.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB. Khi đó, OH song song với CD (vì OA và OB là đường cao của tam giác OAB, nên OH vuông góc với AB và song song với CD).
Gọi N là giao điểm của OH và AB. Khi đó, ta có: ON = NH (vì O là trung điểm của AB).
Ta có: MC < MD và O nằm khác phía có bờ là CD, suy ra O nằm giữa M và D.
Vậy, ta có: MN = ND (vì O là trung điểm của MD).
Từ đó, ta có: ON là đường trung trực của MN.
Như vậy, I là trung điểm của CD cũng là trung điểm của ON.
Do đó, ta có: MI = IN và MO = OI.
Vậy, ta có 5 điểm M, A, I, O, B cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
b. Ta có:

Gọi P là giao điểm của MA và CD. Khi đó, ta có: MP vuông góc với CD (vì MA là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
Từ đó, ta có: MP là đường cao của tam giác MCD.
Áp dụng định lí Euclid, ta có: MC.MD = MP^2 + CP^2.
Vì I là trung điểm của CD, nên ta có: CP = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}MD.
Từ đó, ta có: CP^2 = \frac{1}{4}MD^2.
Như vậy, ta có: MC.MD = MP^2 + \frac{1}{4}MD^2.
Ta có: MA^2 = MP^2 + AP^2.
Vì A, I, O, B cùng nằm trên đường tròn đường kính AB, nên ta có: AI = IB = \frac{1}{2}AB.
Từ đó, ta có: AP = \frac{1}{2}AB - AM = \frac{1}{2}AB - \frac{1}{2}MB = \frac{1}{2}AB - \frac{1}{2}MC.
Như vậy, ta có: MA^2 = MP^2 + (\frac{1}{2}AB - \frac{1}{2}MC)^2.
Từ đó, ta có: MA^2 = MP^2 + \frac{1}{4}AB^2 - AB.MC + \frac{1}{4}MC^2.
Như vậy, ta cần chứng minh rằng: MP^2 + \frac{1}{4}AB^2 - AB.MC + \frac{1}{4}MC^2 = MC.MD.
Ta có: MP^2 = MC^2 - CP^2 = MC^2 - \frac{1}{4}

...Xem thêm

Answer 2

a. Ta có:

Vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên OM vuông góc với cả MA và MB.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB. Khi đó, OH song song với CD (vì OA và OB là đường cao của tam giác OAB, nên OH vuông góc với AB và song song với CD).
Gọi N là giao điểm của OH và AB. Khi đó, ta có: ON = NH (vì O là trung điểm của AB).
Ta có: MC < MD và O nằm khác phía có bờ là CD, suy ra O nằm giữa M và D.
Vậy, ta có: MN = ND (vì O là trung điểm của MD).
Từ đó, ta có: ON là đường trung trực của MN.
Như vậy, I là trung điểm của CD cũng là trung điểm của ON.
Do đó, ta có: MI = IN và MO = OI.
Vậy, ta có 5 điểm M, A, I, O, B cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
b. Ta có:

Gọi P là giao điểm của MA và CD. Khi đó, ta có: MP vuông góc với CD (vì MA là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
Từ đó, ta có: MP là đường cao của tam giác MCD.
Áp dụng định lí Euclid, ta có: MC.MD = MP^2 + CP^2.
Vì I là trung điểm của CD, nên ta có: CP = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}MD.
Từ đó, ta có: CP^2 = \frac{1}{4}MD^2.
Như vậy, ta có: MC.MD = MP^2 + \frac{1}{4}MD^2.
Ta có: MA^2 = MP^2 + AP^2.
Vì A, I, O, B cùng nằm trên đường tròn đường kính AB, nên ta có: AI = IB = \frac{1}{2}AB.
Từ đó, ta có: AP = \frac{1}{2}AB - AM = \frac{1}{2}AB - \frac{1}{2}MB = \frac{1}{2}AB - \frac{1}{2}MC.
Như vậy, ta có: MA^2 = MP^2 + (\frac{1}{2}AB - \frac{1}{2}MC)^2.
Từ đó, ta có: MA^2 = MP^2 + \frac{1}{4}AB^2 - AB.MC + \frac{1}{4}MC^2.
Như vậy, ta cần chứng minh rằng: MP^2 + \frac{1}{4}AB^2 - AB.MC + \frac{1}{4}MC^2 = MC.MD.
Ta có: MP^2 = MC^2 - CP^2 = MC^2 - \frac{1}{4}

1 câu trả lời 784

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9