Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Trên một mảnh đất hình thang vuông ABCD người ta xây dựng một sân vận động hình chữ nhật (ảnh 2)

Ta giải bài toán này như sau: Con đường $C \to H \to K \to Q \to B \to P \to C$ , sẽ ngắn nhất nếu ta tìm được $P, Q, H, K$ mà $S_{1} = P B + P C$ nhỏ nhất và $S_{2} = C H + H K + K Q + Q B$ nhỏ nhất.

Ta xác định các vị trí $P, Q, H, K$ như sau:

- Gọi C' là điểm đối xứng với C qua EF; gọi C'' là điểm đối xứng với C qua AD.

- Gọi B là giao điểm của BC' và EF; K là giao điểm của BC'' và EF; H là giao điểm của CK và EF.

Việc chứng minh điểm P dựng như trên để S₁ nhỏ nhất đã trình bày trong ví dụ 1. Việc dựng điểm K như trên, cũng như theo ví dụ 1 đã nêu thì mới đảm bảo cho $S = B K + K C$ nhỏ nhất.

Ta sẽ chứng minh các điểm $K, Q, H$ dựng như vậy thoả mãn $S_{2} = C H + H K + K Q + Q B$ nhỏ nhất.

Thật vậy: xét các điểm $K_{1}, Q_{1}, H_{1}$ bất kỳ lần lượt thuộc $A D, E F$ . Ta nhận thấy:

$\{\begin{matrix} C H_{1} + H_{1} K_{1} \geq C K_{1} \\ K_{1} Q_{1} + Q_{1} B \geq K_{1} B \end{matrix} \Rightarrow C H_{1} + H_{1} K_{1} + K_{1} Q_{1} + Q_{1} B \geq C K_{1} + K_{1} B$

Theo cách dựng điểm K thì $C K_{1} + K_{1} B \geq K B + K C$

Từ đó suy ra: $C H_{1} + H_{1} K_{1} + K_{1} Q_{1} + Q_{1} B \geq K B + K C$

Dấu “=” trong $C H_{1} + H_{1} K_{1} + K_{1} Q_{1} + Q_{1} B \geq K B + K C$
xảy ra khi và chỉ khi các dấu “=” trong

$C H_{1} + H_{1} K_{1} \geq C K_{1}, K_{1} Q_{1} + Q_{1} B \geq K_{1} B, C H_{1} + H_{1} K_{1} + K_{1} Q_{1} + Q_{1} B \geq C K_{1} + K_{1} B,$

$C K_{1} + K_{1} B \geq K B + K C$ đồng thời xảy ra. Như vậy $K, Q, H$ dựng như hình trên đảm bảo cho ta S₂ là nhỏ nhất.

Tóm lại: $S_{1} + S_{2} = C H + H K + K Q + Q B + B P + P C$ , với cách dựng $P, Q, H, K$ như trên thì $S_{1} + S_{2}$ nhỏ nhất. Do các điểm P, K là duy nhất, nên vị trí các điểm P, Q, H, K như trên là duy nhất. Để ý là mảnh đất ABCD là hình thang vuông, sân vận động AEFD là hình chữ nhật nên ta chứng minh được các vị trí P, Q, H, K xác định như trên là thoả mãn các yêu cầu thực tế của bài toán. (Cụ thể là: $Q, P, H$ nằm trên cạnh EF; K nằm trên cạnh AD của hình chữ nhật ABCD và P nằm giữa Q và H).

...Xem thêm

Answer 2