Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

· Chứng minh rằng tứ giác MDEH nội tiếp.

Ta có: $\hat{M D N} = 90 °$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tứ giác MDEH có:

$\hat{M D E} + \hat{E H M} = 90 ° + 90 ° = 180 °$ ( Hai góc đối diện bù nhau).

$\Rightarrow$ tứ giác MDEH nội tiếp đường tròn.

· Chứng minh rằng: $N B^{2} = N E . N D$ .

Vì $M N ⊥ A B$ tại H mà HA=HB (chứng minh trên) $\Rightarrow \overset{⏜}{N A} = \overset{⏜}{N B}$

Xét $Δ N B D$ và $Δ N E B$ có:

$\hat{N}$ là góc chung.

$\hat{N D B} = \frac{1}{2} s d \overset{⏜}{N B}, \hat{N B E} = \frac{1}{2} s d \overset{⏜}{N A}$ ( hai góc $\hat{N D B}$ và $\hat{N B E}$ là hai góc nội tiếp đường tròn (O;R))

Mà $\overset{⏜}{N A} = \overset{⏜}{N B} \Rightarrow \hat{N D B} = \hat{N B E}$

$\Rightarrow Δ N B D ~ Δ N E B$ (g - g)

$\Rightarrow \frac{N B}{N E} = \frac{N D}{N B}$

$\Rightarrow N B^{2} = N E . N D$ (đpcm)

· Chứng minh rằng: $A C . B E = B C . A E$ .

Ta có: $\hat{N D B} = \frac{1}{2} s d \overset{⏜}{N B}, \hat{A D N} = \frac{1}{2} s d \overset{⏜}{N A}$ ( hai góc $\hat{N D B}$ và $\hat{A D N}$ là hai góc nội tiếp đường tròn (O;R)). Mà $\overset{⏜}{N A} = \overset{⏜}{N B} \Rightarrow \hat{N D B} = \hat{A D N}$

$\Rightarrow D N$ là tia phân giác của góc $\hat{A D B}$ .

$\Rightarrow \frac{A E}{E B} = \frac{D A}{D B}$ ( tính chất tia phân giác) (1)

Mặt khác: $\hat{M D N} = 90^{\circ}$ (chứng minh trên) $\Rightarrow N D ⊥ D C \Rightarrow \hat{M D A} + \hat{A D N} = \hat{C D B} + \hat{B D N} = 90^{\circ}$

mà $\hat{N D B} = \hat{A D N}$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \hat{B D C} = \hat{A D M}, \hat{A D M} = \hat{C D x}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \hat{B D C} = \hat{C D x} \Rightarrow D C$ là tia phân giác ngoài của góc $\hat{A D B}$

$\Rightarrow \frac{A C}{B C} = \frac{D A}{D B}$ ( tính chất tia phân giác) (2)

Từ (1),(2) $\Rightarrow \frac{A C}{B C} = \frac{A E}{E B} \Rightarrow A C . B E = B C . A E$ (đpcm)

...Xem thêm

Answer 2