Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho tam giác ABC, M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Kéo dài AM cắt BC tại P, BM cắt Q, CM cắt AB tại K. (ảnh 1)

Kẻ $M H ⊥ B C, A H^{'} ⊥ B C (H, H^{'} \in B C) \Rightarrow M H € A H^{'} \Rightarrow \frac{M H}{A H^{'}} = \frac{M P}{A P}$ , (Hệ quả ĐL Talet).

Lại có $\frac{M H}{A H^{'}} = \frac{\frac{1}{2} M H . B C}{\frac{1}{2} A H^{'} . B C} = \frac{S_{M B C}}{S_{A B C}} \Rightarrow \frac{M P}{A P} = \frac{S_{M B C}}{S_{A B C}}$ .

Chứng minh tương tự, ta có $\frac{M Q}{B Q} = \frac{S_{M A C}}{S_{A B C}}$ ; $\frac{M K}{C K} = \frac{S_{M A B}}{S_{A B C}}$ .

Suy ra $\frac{M P}{A P} + \frac{M Q}{B Q} + \frac{M K}{C K} = \frac{S_{M B C}}{S_{A B C}} + \frac{S_{M A C}}{S_{A B C}} + \frac{S_{M A B}}{S_{A B C}} = 1$ .

Đặt $x = \frac{M P}{A P}$ ; $y = \frac{M Q}{B Q}$ ; $z = \frac{M K}{C K}$ thì x, y, z > 0 và x+y+z=1.

Theo đề bài: $M A . M B . M C \geq 8 M P . M Q . M K \Leftrightarrow \frac{M A}{M P} . \frac{M B}{M Q} . \frac{M C}{M K} \geq 8$

$\Leftrightarrow (\frac{A P}{M P} - 1) (\frac{B Q}{M Q} - 1) (\frac{C K}{M K} - 1) \geq 8$

Hay: $(\frac{1}{x} - 1) (\frac{1}{y} - 1) (\frac{1}{z} - 1) \geq 8$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x y z} - (\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{x z}) + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} - 1 \geq 8 \Leftrightarrow \frac{1}{x y z} - \frac{x + y + z}{x y z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 9$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x y z} - \frac{1}{x y z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 9 (d o x + y + z = 1)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq 9$

\Leftrightarrow (x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9

\Leftrightarrow 1 + \frac{x}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{x} + 1 + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + \frac{z}{y} + 1 \geq 9

\Leftrightarrow (\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2) + (\frac{y}{z} + \frac{z}{y} - 2) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z} - 2) \geq 0

$\Leftrightarrow \frac{{(x - y)}^{2}}{x y} + \frac{{(y - z)}^{2}}{y z} + \frac{{(z - x)}^{2}}{z x} \geq 0$ . (*)

Bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng với x, y, z>0.

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z = \frac{1}{3}$ , hay $\frac{M P}{A P} = \frac{M Q}{B Q} = \frac{M K}{C K} = \frac{1}{3}$ $\Leftrightarrow M$ là trọng tâm $Δ A B C$ .

Vậy $M A . M B . M C \geq 8 M P . M Q . M K$ .

...Xem thêm

Answer 2