Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số $x^{4}$ và yz ta có : $x^{4} + y z \geq 2 \sqrt{x^{4} z y} = 2 x^{2} \sqrt{y z}$

Tương tự : $\{\begin{cases} y^{4} + x z \geq 2 y^{2} \sqrt{x z} \\ z^{4} + x y \geq 2 z^{2} \sqrt{x y} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{x^{2}}{2 x^{2} \sqrt{y z}} + \frac{y^{2}}{2 y^{2} \sqrt{x z}} + \frac{z^{2}}{2 z^{2} \sqrt{x y}} \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{y z}} + \frac{1}{\sqrt{x z}} + \frac{1}{\sqrt{x y}}) \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{x y z}} \end{array}$

Sử dụng bất đẳng thức phụ : ${(a + b + c)}^{2} \leq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ (sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh)

$\begin{array}{l} {(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2} \leq 3 (x + y + z) \\ \Rightarrow {(x + y + z)}^{2} \leq 3. (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 9 x y z \\ \Rightarrow x + y + z \leq 3 \sqrt{x y z} \Rightarrow {(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2} \leq 3.3 \sqrt{x y z} = 9 \sqrt{x y z} \\ \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq 3 \sqrt[4]{x y z} \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{3 \sqrt[4]{x y z}}{\sqrt{x y z}} = \frac{3}{2} . \frac{1}{\sqrt[4]{x y z}} \end{array}$

Ta sẽ chứng minh $\sqrt[4]{x y z} \geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ ta được :

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 3 \sqrt[3]{{(x y z)}^{2}} \Rightarrow 3 x y z \geq 3 \sqrt[3]{{(x y z)}^{2}} \\ \Rightarrow \sqrt[3]{x y z} \geq 1 (d o x y z > 0) \Rightarrow x y z \geq 1 \Rightarrow \sqrt[4]{x y z} \geq 1 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{3 \sqrt[4]{x y z}}{\sqrt{x y z}} = \frac{3}{2} . \frac{1}{\sqrt[4]{x y z}} \leq \frac{3}{2}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $x = y = z = 1$

...Xem thêm

Answer 2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số $x^{4}$ và yz ta có : $x^{4} + y z \geq 2 \sqrt{x^{4} z y} = 2 x^{2} \sqrt{y z}$

Tương tự : $\{\begin{cases} y^{4} + x z \geq 2 y^{2} \sqrt{x z} \\ z^{4} + x y \geq 2 z^{2} \sqrt{x y} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{x^{2}}{2 x^{2} \sqrt{y z}} + \frac{y^{2}}{2 y^{2} \sqrt{x z}} + \frac{z^{2}}{2 z^{2} \sqrt{x y}} \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{y z}} + \frac{1}{\sqrt{x z}} + \frac{1}{\sqrt{x y}}) \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}}{\sqrt{x y z}} \end{array}$

Sử dụng bất đẳng thức phụ : ${(a + b + c)}^{2} \leq 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ (sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh)

$\begin{array}{l} {(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2} \leq 3 (x + y + z) \\ \Rightarrow {(x + y + z)}^{2} \leq 3. (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 9 x y z \\ \Rightarrow x + y + z \leq 3 \sqrt{x y z} \Rightarrow {(\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z})}^{2} \leq 3.3 \sqrt{x y z} = 9 \sqrt{x y z} \\ \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq 3 \sqrt[4]{x y z} \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{3 \sqrt[4]{x y z}}{\sqrt{x y z}} = \frac{3}{2} . \frac{1}{\sqrt[4]{x y z}} \end{array}$

Ta sẽ chứng minh $\sqrt[4]{x y z} \geq 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ ta được :

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 3 \sqrt[3]{{(x y z)}^{2}} \Rightarrow 3 x y z \geq 3 \sqrt[3]{{(x y z)}^{2}} \\ \Rightarrow \sqrt[3]{x y z} \geq 1 (d o x y z > 0) \Rightarrow x y z \geq 1 \Rightarrow \sqrt[4]{x y z} \geq 1 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{4} + y z} + \frac{y^{2}}{y^{4} + x z} + \frac{z^{2}}{z^{4} + x y} \leq \frac{1}{2} . \frac{3 \sqrt[4]{x y z}}{\sqrt{x y z}} = \frac{3}{2} . \frac{1}{\sqrt[4]{x y z}} \leq \frac{3}{2}$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $x = y = z = 1$

1 câu trả lời 78

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9