Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có: $a^{2} + b^{2} + a b = 3 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 3 - a b$

Ta thấy ${(a - b)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 2 a b \Leftrightarrow 3 - a b \geq 2 a b \Leftrightarrow a b \leq 1$

Lại có: ${(a + b)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq - 2 a b \Leftrightarrow 3 - a b \geq - 2 a b \Leftrightarrow 3 \geq - a b \Leftrightarrow a b \geq - 3$

$\Rightarrow - 3 \leq a b \leq 1$

Xét $a^{2} + b^{2} = 3 - a b$ với $- 3 \leq a b \leq 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(a^{2} + b^{2})}^{2} = {(3 - a b)}^{2} \\ \Leftrightarrow a^{4} + b^{4} + 2 a^{2} b^{2} = 9 - 6 a b + a^{2} b^{2} \\ \Leftrightarrow a^{4} + b^{4} = - a^{2} b^{2} - 6 a b + 9 \end{array}$

Khi đó: $P = a^{4} + b^{4} - a b = - a^{2} b^{2} - 6 a b + 9 - a b = - {(a b)}^{2} - 7 a b + 9 = \frac{85}{4} - {(a b + \frac{7}{2})}^{2}$

Vì $- 3 \leq a b \leq 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \leq a b + \frac{7}{2} \leq \frac{9}{2} \Leftrightarrow {(a b + \frac{7}{2})}^{2} \leq \frac{81}{4}$

Suy ra $P = \frac{85}{4} - {(a b + \frac{7}{2})}^{2} \geq \frac{85}{4} - \frac{81}{4} = 1 \Leftrightarrow P \geq 1$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $a b = 1$ và $a^{2} + b^{2} = 2 \Rightarrow [\begin{array}{l} a = 1, b = 1 \\ a = - 1, b = - 1 \end{array}$

Ta lại có: $P = - {(a b)}^{2} - 7 a b + 9 = (a b + 3) (- a b - 4) + 21$

Mà $- 3 \leq a b \leq 1$ nên $\{\begin{cases} a b + 3 \geq 0 \\ - a b - 4 < 0 \end{cases}$ nên $(a b + 3) (- a b - 4) + 21$

Dấu $" = "$ xảy ra khi $\{\begin{cases} a b = - 3 \\ a^{2} + b^{2} + a b = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a b = - 3 \\ {(a + b)}^{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} a = \sqrt{3} \\ b = - \sqrt{3} \end{cases} \\ \{\begin{cases} a = - \sqrt{3} \\ b = \sqrt{3} \end{cases} \end{array}$

Vậy giá trị lớn nhất của P là 21, giá trị nhỏ nhất của P là 1.

...Xem thêm

Answer 2