Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BD, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD. a) Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh: c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng d) Cho AB = 6 cm, AD = 8 cm. Tính độ dài đoạn MN. (ảnh 1)

a) Xét tứ giác AHCK có $\hat{A H K} = 90^{\circ}$ (gt)

CK là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, AC là đường kính nên $A C ⊥ C K$ .

Suy ra $\hat{A C K} = 90^{\circ}$

Vậy hai đỉnh H và C cùng nhìn AK dưới một góc vuông

nên AHCK là tứ giác nội tiếp.

b) Vì ABCD là hình chữ nhậ nên $\hat{A D B} = \hat{A C B}$

$\hat{A M N} = \hat{A C B}$ (cùng phụ với $\hat{B A C}$ )

Do đó $\hat{A M N} = \hat{A D B}$

Xét $Δ A M N$ và $Δ A D B$ ta có:

$\hat{D A B} = \hat{M A N} = 90^{\circ}$

$\hat{A D B} = \hat{A M N}$ (cmt)

Nên $Δ A M N ~ Δ A D B$ (g.g)

Suy ra $\frac{A M}{A D} = \frac{A N}{A B} \Leftrightarrow A D \cdot A N = A B \cdot A M$

c) Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm $A, H, E$ thẳng hàng

Giả sử AE cắt BD tại I, ta chứng minh $I \equiv H$ . Thật vậy:

Tam giác AMN vuông tại A có E là trung điểm MN nên tam giác AEN cân tại E, do đó $\hat{E A N} = \hat{E N A}$ (3)

Theo chứng minh trên: $\hat{A D B} = \hat{A M N}$ (4)

Từ (3) và (4) ta có: $\hat{E A N} + \hat{A D B} = \hat{A M N} + \hat{E N A} = 90^{\circ}$ hay $\hat{A I D} = 90^{\circ}$

Suy ra $A I ⊥ B D$ tại I. Do đó $I \equiv H$ hay $A, H, E$ thẳng hàng.

d) Đặt $A N = x; A M = y (x > 0; y > 0)$ . Khi đó $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 10 (c m)$ và:

$\{\begin{cases} A M \cdot A B = A N \cdot A D \\ \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{A C^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x = 3 y \\ \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{100} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{25}{2} \\ y = \frac{50}{3} \end{cases}$

Mặt khác: . $A M \cdot A N = A C \cdot M N \Rightarrow M N = \frac{125}{6} (c m)$

...Xem thêm

Answer 2