Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đặt $x = a^{2} - b c, y = b^{2} - c a, z = c^{2} - a b$

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3 x y z$

Ta có:

$\begin{array}{l} x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x^{3} + y^{3}) - 3 x y z + z^{3} \\ = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y) - 3 x y z + z^{3} \\ = {(x + y)}^{3} + z^{3} - 3 x y (x + y + z) \\ = (x + y + z) [{(x + y)}^{2} - (x + y) z + z^{2}] - 3 x y (x + y + z) \\ = (x + y + z) [x^{2} + 2 x y + y^{2} - x z - y z + z^{2} - 3 x y] \\ = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z) \end{array}$

Dễ thấy

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z = \frac{1}{2} (x^{2} - 2 x y + y^{2} + y^{2} - 2 y z + z^{2} + z^{2} - 2 z x + x^{2}) \\ = \frac{1}{2} [{(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2}] \geq 0 \forall x, y, z \end{array}$

Do đó ta đi xét dấu x+ y +z

Ta có:

$x + y + z = a^{2} - b c + b^{2} - c a + c^{2} - a b$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = \frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}] \geq 0, \forall a, b, c$

Suy ra $x + y + z \geq 0 \Rightarrow (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x) \geq 0$

$\Rightarrow x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3 x y z$

hay ${(a^{2} - b c)}^{3} + {(b^{2} - c a)}^{3} + {(c^{2} - a b)}^{3} \geq 3 (a^{2} - b c) (b^{2} - c a) (c^{2} - a b) (d f c m)$

dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$

...Xem thêm

Answer 2

Đặt $x = a^{2} - b c, y = b^{2} - c a, z = c^{2} - a b$

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3 x y z$

Ta có:

$\begin{array}{l} x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = (x^{3} + y^{3}) - 3 x y z + z^{3} \\ = {(x + y)}^{3} - 3 x y (x + y) - 3 x y z + z^{3} \\ = {(x + y)}^{3} + z^{3} - 3 x y (x + y + z) \\ = (x + y + z) [{(x + y)}^{2} - (x + y) z + z^{2}] - 3 x y (x + y + z) \\ = (x + y + z) [x^{2} + 2 x y + y^{2} - x z - y z + z^{2} - 3 x y] \\ = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z) \end{array}$

Dễ thấy

$\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z = \frac{1}{2} (x^{2} - 2 x y + y^{2} + y^{2} - 2 y z + z^{2} + z^{2} - 2 z x + x^{2}) \\ = \frac{1}{2} [{(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2}] \geq 0 \forall x, y, z \end{array}$

Do đó ta đi xét dấu x+ y +z

Ta có:

$x + y + z = a^{2} - b c + b^{2} - c a + c^{2} - a b$

$= a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a = \frac{1}{2} [{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}] \geq 0, \forall a, b, c$

Suy ra $x + y + z \geq 0 \Rightarrow (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - z x) \geq 0$

$\Rightarrow x^{3} + y^{3} + z^{3} \geq 3 x y z$

hay ${(a^{2} - b c)}^{3} + {(b^{2} - c a)}^{3} + {(c^{2} - a b)}^{3} \geq 3 (a^{2} - b c) (b^{2} - c a) (c^{2} - a b) (d f c m)$

dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$

1 câu trả lời 97

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9