Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ cát tuyến AMN không đi qua (O) (M nằm giữa A và N). Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O;R). (B và C là hai tiếp điểm và C tuộc cung nhỏ MN). Đường thẳng BC cắt MN và AO lần lượt tại E và F. Gọi I là trung điểm của MN. a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp được trong đường tròn. b) Chứng minh EB.EC = EM.EN và IA là phân giác của . c) Tia MF cắt (O;R) tại điểm thứ hai là D. Chứng minh rằng Tam giác AMF đồng dạng với tam giác AON và BC//DN . d) Giả sử OA = 2R. Tính diện tích tam giác ABC theo R. (ảnh 1)

a) Vì AB là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm B AB $⊥$ OB hay $\hat{A B O} = 90^{0}$

Vì AC là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm C AC $⊥$ OC hay $\hat{A C O} = 90^{0}$ .

Tứ giác ABOC có $\hat{A C O} = \hat{A B O} = 90^{0}$ nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO.

b) Xét $Δ EMB$ và $Δ ECN$ có:

$\hat{E M B} = \hat{E C N}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NB)

$\hat{E B M} = \hat{E N C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC)

$\Rightarrow Δ E M B ∽ Δ E C N (g g)$

$\Rightarrow \frac{E M}{E C} = \frac{E B}{E N} \Rightarrow E B . E C = E M . E N$ .

Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) lần lượt tại các tiếp điểm B và C nên $\hat{A O B} = \hat{A O C}$ và AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vì I là trung điểm MN $\Rightarrow O I ⊥ M N$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

$\Rightarrow \hat{A I O} = 90^{0}$ I nằm trên đường tròn đường kính OA.

Xét đường tròn đường kính OA ta có:

$\hat{A I C} = \hat{A O C}; \hat{A I B} = \hat{A O B}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Mà $\hat{A O B} = \hat{A O C}$

$\Rightarrow \hat{A I C} = \hat{A I B}$ hay IA là phân giác của .

d) Xét $Δ A O C$ vuông tại C ta có:

$O A^{2} = A C^{2} + O C^{2}$

$\Rightarrow A C^{2} = O A^{2} - O C^{2} = 4 R^{2} - R^{2} = 3 R^{2}$

$\Rightarrow A C = R \sqrt{3}$ .

Xét $Δ A O C$ vuông tại C ta có: $\sin \hat{C A O} = \frac{O C}{O A} = \frac{R}{2 R} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \hat{C A O} = 30^{0} \Rightarrow \hat{C A B} = 60^{0}$

có AB = AC và $\hat{C A B} = 60^{0}$ suy ra $Δ A B C$ là tam giác đều.

đường cao $h = A B \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 R}{2}$

$S_{B C A} = \frac{1}{2} h . A B = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 R}{2} \cdot R \sqrt{3} = \frac{3 R^{2} \sqrt{3}}{4} (d v d t)$

...Xem thêm

Answer 2