Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có: x − $\sqrt{x + 6}$ = $\sqrt{y + 6}$ − y

<=>x + 6 – 2. $\frac{1}{2}$ . $\sqrt{x + 6}$ + $\frac{1}{4}$ + y + 6 − 2. $\frac{1}{2}$ . $\sqrt{y + 6}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{25}{2}$

<=> ${(\sqrt{x + 6} - \frac{1}{2})}^{2} + {(\sqrt{y + 6} - \frac{1}{2})}^{2} =$ $\frac{25}{2}$

Đặt a = $\sqrt{x + 6}$ − $\frac{1}{2}$ ; b = $\sqrt{y + 6}$ − $\frac{1}{2}$ nên a ≥ − $\frac{1}{2}$ ; b ≥ − $\frac{1}{2}$

Và a²+ b² = $\frac{25}{2}$ . Do đó − $\frac{1}{2}$ ≤ a ≤ $\frac{7}{2}$ ; − $\frac{1}{2}$ ≤ b ≤ $\frac{7}{2}$

Ta có: (a − b)² ≥ 0

<=> a²− 2ab + b²≥ 0

<=> a²+ b²≥ 2ab

<=> a²+ b²+ a²+ b²≥ 2ab + a²+ b²

<=> 2(a²+ b²) ≥ (a + b)²

a + b ≤ $\sqrt{2 (a^{2} + b^{2})}$ = $\sqrt{2. \frac{25}{2}}$ = 5

Đặt a = $\sqrt{x + 6}$ − $\frac{1}{2}$ nên:

a + $\frac{1}{2}$ = $\sqrt{x + 6}$

=> ${(a + \frac{1}{2})}^{2}$ = x+6

<=> a²+ 2. a. $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ = x + 6

<=> x = a²+ a $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ − 6

<=> x = a² + a − $\frac{23}{4}$

Đặt b = $\sqrt{y + 6}$ − $\frac{1}{2}$ nên:

b + $\frac{1}{2}$ = $\sqrt{y + 6}$

${(b + \frac{1}{2})}^{2}$ = ${(\sqrt{y + 6})}^{2}$

<=> b²+ 2. b. $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ = y + 6

<=> y = b²+ b + $\frac{1}{4}$ − 6

<=> y = b² + b − $\frac{23}{4}$

Ta có: S = x + y = a²+ a − $\frac{23}{4}$ + b² + b − $\frac{23}{4}$

= $\frac{25}{2}$ − $\frac{23}{2}$ + a + b

= a + b + 1 ≤ 5 + 1 = 6

Dấu “=” xảy ra khi

$\{\begin{cases} a = b \\ a^{2} + b^{2} = \frac{25}{2} \end{cases}$

<=> $\{\begin{cases} a = b \\ b^{2} + b^{2} = \frac{25}{2} \end{cases}$

<=> $\{\begin{cases} a = b \\ 2 b^{2} = \frac{25}{2} \end{cases}$

<=> $\{\begin{cases} a = b \\ b = \frac{5}{2} \end{cases}$

=>

a = b = $\frac{5}{2}$

=> $\{\begin{cases} \sqrt{x + 6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \\ \sqrt{y + 6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \end{cases}$

<=> $\{\begin{cases} \sqrt{x + 6} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \\ \sqrt{y + 6} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \end{cases}$

<=> $\{\begin{cases} \sqrt{x + 6} = 3 \\ \sqrt{y + 6} = 3 \end{cases}$

<=> $\{\begin{cases} {(\sqrt{x + 6})}^{2} = 3^{2} \\ {(\sqrt{y + 6})}^{2} = 3^{2} \end{cases}$

<=>

\{\begin{cases} x + 6 = 9 \\ y + 6 = 9 \end{cases}

=> x = y = 3

Vậy giá trị lớn nhất của biếu thức P là 6 đạt được khi x = y = 3.

...Xem thêm

Answer 2