Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

$x^{2} + a x + b + 2 = 0$ ta có: $Δ = a^{2} - 4 (b + 2) = a^{2} - 4 b - 8$

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $Δ > 0 \Leftrightarrow a^{2} - 4 b - 8 > 0 (*)$

Khi đó, áp dụng định lý Viet ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - a \\ x_{1} x_{2} = b + 2 \end{cases}$

Theo bài ra ta có:

$\{\begin{cases} x_{1} - x_{2} = 4 \\ x_{1}^{3} - x_{2}^{3} = 28 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} - x_{2} = 4 \\ {(x_{1} - x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} - x_{2}) = 28 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} - x_{2} = 4 \\ 4^{3} + 12 x_{1} x_{2} = 28 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} - x_{2} = 4 \\ x_{1} x_{2} = - 3 \end{cases}$ mà

$x_{1} x_{2} = b + 2 \Rightarrow b + 2 = - 3 \Leftrightarrow b = - 3 - 2 = - 5$

Ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - a \\ x_{1} - x_{2} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x_{1} = 4 - a \\ 2 x_{2} = - a - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} = \frac{4 - a}{2} \\ x_{2} = \frac{- a - 4}{2} \end{cases}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow x_{1} x_{2} = - 3 \Leftrightarrow \frac{4 - a}{2} . (\frac{- a - 4}{2}) = - 3 \\ \Leftrightarrow (4 - a) (a + 4) = 12 \\ \Leftrightarrow 16 - a^{2} = 12 \Leftrightarrow a^{2} = 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 2 \\ a = - 2 \end{array} \end{array}$

Với $a^{2} = 4, b = - 5 \Rightarrow a^{2} - 4 b - 8 = 4 - 4. (- 5) - 8 = 16 > 0 \Rightarrow$ thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy có 2 cặp số $(a, b)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $(a, b) \in \{(2; - 5); (- 2; - 5)\}$

...Xem thêm

Answer 2