Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Media VietJack

a) Theo giả thiết, $E H ⊥ O A$ tại M nên M là trung điểm của EH (quan hệ đường kính và dây cung).

$\Rightarrow E H = 2 E M$ .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác QEM có:

$O M^{2} + E M^{2} = O E^{2} \Rightarrow E M = \sqrt{O E^{2} - O M^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4 cm$

$\Rightarrow E H = 2 E M = 8 cm$ .

Vậy độ dài dây EH là 8 cm.

b) $Δ A E H$ cân tại A vì có AM vừa là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến.

$\Rightarrow A E = A H$ .

Xét $Δ O E A$ và $Δ O H A$ có: OE = OH (bán kính đường tròn (O));

AE = AH (chứng minh trên);

OA chung.

$\Rightarrow Δ O E A = Δ O H A (c.c.c) \Rightarrow \hat{O H A} = \hat{O E A} = 90 °$ (hai góc tương ứng).

Hay $A H ⊥ O H$ . Vậy AH là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Ta thấy B là giao của hai tiếp tuyến BH và BF nên $\hat{B O F} = \hat{B O H}$ .

Lại có $\hat{E O A} = \hat{H O A}$ nên $\hat{E O A} + \hat{A O B} + \hat{B O F} = 2 (\hat{A O H} + \hat{B O H}) = 180 °$ .

Tức là ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: FB = BH, EA =HA.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB ta có: $B H . H A = O H^{2}$ .

Vậy $B F . A E = R^{2}$ . (1)

Media VietJack

d) Ta có $B F // A Q$ (vì cùng vuông góc với EF).

$\frac{B F}{A Q} = \frac{I F}{I Q} = \frac{C F}{Q D} \Rightarrow \frac{B F}{C F} = \frac{A Q}{D Q}$ (*).

Dễ dàng chứng minh được $Δ C O D$ vuông tại O.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COD, với OK là đường cao, ta có: $O K^{2} = D K . C K$ .

Mà DE, DK là các tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại D nên DE = DK.

Tương tự, CK = CF.

$\Rightarrow O K^{2} = C F . D E \Leftrightarrow C F . D E = R^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $C F . D E = A E . B F \Leftrightarrow \frac{B F}{C F} = \frac{D E}{A E}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

\frac{A Q}{D Q} = \frac{D E}{A E} \Leftrightarrow \frac{A Q - D Q}{D Q} = \frac{D E - A E}{A E} \Leftrightarrow \frac{A D}{D Q} = \frac{A D}{A E} \Leftrightarrow A E = D Q

.

...Xem thêm

Answer 2

Media VietJack

a) Theo giả thiết, $E H ⊥ O A$ tại M nên M là trung điểm của EH (quan hệ đường kính và dây cung).

$\Rightarrow E H = 2 E M$ .

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác QEM có:

$O M^{2} + E M^{2} = O E^{2} \Rightarrow E M = \sqrt{O E^{2} - O M^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4 cm$

$\Rightarrow E H = 2 E M = 8 cm$ .

Vậy độ dài dây EH là 8 cm.

b) $Δ A E H$ cân tại A vì có AM vừa là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến.

$\Rightarrow A E = A H$ .

Xét $Δ O E A$ và $Δ O H A$ có: OE = OH (bán kính đường tròn (O));

AE = AH (chứng minh trên);

OA chung.

$\Rightarrow Δ O E A = Δ O H A (c.c.c) \Rightarrow \hat{O H A} = \hat{O E A} = 90 °$ (hai góc tương ứng).

Hay $A H ⊥ O H$ . Vậy AH là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Ta thấy B là giao của hai tiếp tuyến BH và BF nên $\hat{B O F} = \hat{B O H}$ .

Lại có $\hat{E O A} = \hat{H O A}$ nên $\hat{E O A} + \hat{A O B} + \hat{B O F} = 2 (\hat{A O H} + \hat{B O H}) = 180 °$ .

Tức là ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: FB = BH, EA =HA.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB ta có: $B H . H A = O H^{2}$ .

Vậy $B F . A E = R^{2}$ . (1)

Media VietJack

d) Ta có $B F // A Q$ (vì cùng vuông góc với EF).

$\frac{B F}{A Q} = \frac{I F}{I Q} = \frac{C F}{Q D} \Rightarrow \frac{B F}{C F} = \frac{A Q}{D Q}$ (*).

Dễ dàng chứng minh được $Δ C O D$ vuông tại O.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông COD, với OK là đường cao, ta có: $O K^{2} = D K . C K$ .

Mà DE, DK là các tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại D nên DE = DK.

Tương tự, CK = CF.

$\Rightarrow O K^{2} = C F . D E \Leftrightarrow C F . D E = R^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $C F . D E = A E . B F \Leftrightarrow \frac{B F}{C F} = \frac{D E}{A E}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

\frac{A Q}{D Q} = \frac{D E}{A E} \Leftrightarrow \frac{A Q - D Q}{D Q} = \frac{D E - A E}{A E} \Leftrightarrow \frac{A D}{D Q} = \frac{A D}{A E} \Leftrightarrow A E = D Q

.

1 câu trả lời 412

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9