Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Media VietJack

Phân tích đề bài

a) Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, thông thường chúng ta chứng minh qua hai tam giác bằng nhau. Khi đó $Δ N M P$ cân vì có $O M = O P$ và $O N ⊥ M P$ .

b) $M N$ là tiếp xúc với $(O)$ tại $I \Leftrightarrow \{\begin{cases} M N ⊥ O I \\ O I = R \end{cases}$ .

c) $A M . B N = R^{2} \Leftrightarrow$ $\overset{Δ A O M}{\overset{⏞}{A M . \underset{Δ B O N}{\underset{⏟}{B N = O A}}}} . \underset{Δ B O N}{\underset{⏟}{O B}}$ $\Leftrightarrow Δ A M O ~ Δ B O N$

d) Nhận thấy $A B N M$ là hình thang vuông, nên

$S_{A M N B} = \frac{(N B + M A) . A B}{2} = \frac{(M I + N I) . A B}{2} = \frac{M N . A B}{2}$ .

Do vậy $S_{A M N B}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M N$ nhỏ nhất hay $A B N M$ là hình chữ nhật.

Giải chi tiết

a) Xét $Δ A O M$ và $Δ B O P$ có: $\hat{M A O} = \hat{P B O} = 90 °$ (tính chất tiếp tuyến);

$O A = O B$ (bán kính đường tròn $(O)$ );

$\hat{A O M} = \hat{B O P}$ (đối đỉnh).

$\Rightarrow Δ A O M = Δ B O P (g . c . g) \Rightarrow O M = O P$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $Δ M N P$ có $O M = O P$ (theo chứng minh trên) và $O N ⊥ M P$ . Suy ra $O N$ là đường trung tuyến, đồng thời là đường cao của $Δ M N P$ nên $Δ M N P$ cân tại $N$ .

b) Kẻ $O I ⊥ M N$ tại $I$ . Vì $Δ M N P$ cân tại $N$ nên $\hat{O M I} = \hat{O P B}$ (hai góc ở đáy).

Xét $Δ O M I$ và $Δ O P B$ có: $\hat{O I M} = \hat{O B P} = 90 °$ ;

$O M = O P$ (chứng minh trên);

$\hat{O M I} = \hat{O P B}$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow Δ O M I = Δ O P B$ (cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow O I = O B = R$ (hai cạnh tương ứng).

Vì $O I ⊥ M N$ tại $I$ và $O I = R$ nên $M N$ là tiếp tuyến của $(O; R)$ tại I.

c) Xét $Δ A M O$ và $Δ B O N$ có: $\hat{M A O} = \hat{N B O} = 90 °$ (tính chất tiếp tuyến);

$\hat{A M O} = \hat{B O N}$ (cùng phụ với hai góc $\hat{A O M}, \hat{B O P}$ bằng nhau).

$\Rightarrow Δ A M O ~ Δ B O N (g.g) \Rightarrow \frac{A M}{B O} = \frac{A O}{B N} \Rightarrow A M . B N = A O . B O = R^{2}$ (vì $O A = O B = R$ ).

Vậy $A M . B N = R^{2}$ .

d) Ta có: $M A ⊥ A B$ và $N B ⊥ A B$ (tính chất tiếp tuyến). Do đó $M A // N B$ hay $A M N B$ là hình thang vuông $\Rightarrow S_{A M N B} = \frac{(N B + M A) . A B}{2}$ .

Mặt khác: $A M = M I$ và $B N = N I$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow S_{A M N B} = \frac{(M I + N I) . A B}{2} = \frac{M N . A B}{2}$ .

Mà $A B = 2 R$ cố định nên $S_{A M N B}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M N$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M N // A B$ hay $A M N B$ là hình chữ nhật $\Leftrightarrow M N = 2 R$ . Khi đó $S_{A M N B} = 2 R^{2}$ .

Vậy để diện tích tứ giác $A M N B$ nhỏ nhất thì $M N // A B$ và $A M = R$ .

...Xem thêm

Answer 2