`a)`
`A=n^2+2n+12`
`A=n^2+2n+1+11`
`A=(n+1)^2+11`
Đặt `A=(n+1)^2+11=k^2(k\inNN)`
`<=>(n+1)^2+11=k^2`
`<=>(n+1)^2-k^2=-11`
`<=>k^2-(n+1)^2=11`
`<=>(k-n-1)(k+n+1)=11`
Ta có:
`k-n-1<k+n+1` và `k;n` là số tự nhiên
Nên `(k-n-1)(k+n+1)=1.11`
`{(k-n-1=1),(k+n+1=11):}`
`<=>{(k-n=2),(k+n=10):}`
`<=>{(2k=12),(k+n=10):}`
`<=>{(k=6),(n=4):}`
Vậy để `A=n^2+2n+12` là số chính phương thì `n=4`
`b)`
`B=n.(n+3)`
`B=n^2+3n`
Đặt `n^2+3n=k^2`
`<=>n^2+3n-k^2=0`
`<=>4.(n^2+3n-k^2)=0`
`<=>4n^2+12n-4k^2=0`
`<=>(2n)^2+2.2n.3+3^2-(2k)^2=9`
`<=>(2n+3)^2-(2k)^2=9`
`<=>(2n+3+2k)(2n+3-2k)=9`
Ta có:`2n+3+2kge2n+3-2k` và `n;k` là số tự nhiên
`<=>(2n+3+2k)(2n+3-2k)=9.1=3.3`
TH`1`:`(2n+3+2k)(2n+3-2k)=3.3`
`{(2n+2k=0),(2n-2k=0):}`
`<=>{(n=0),(k=0):}` 
TH`2`:`(2n+3+2k)(2n+3-2k)=9.1`
`{(2n+3+2k=9),(2n+3-2k=1):}`
`<=>{(2n+2k=6),(2n-2k=-2):}`
`<=>{(4n=4),(2n-2k=-2):}`
`<=>{(n=1),(2-2k=-2):}`
`<=>{(n=1),(k=2):}`
Vậy để `B=n.(n+3)` là số chính phương thì `n\in{0;1}`
`c)`
`C=13n+3`
Đặt `C=13n+3=k^2`
`<=>13n+3-16=k^2-16`
`<=>13.(n-1)=(k-4)(k+4)`
Ta có:
`13` là số nguyên tố
`13.(n-1)\vdots13`
`<=>k-4\vdots13` hoặc `k+4\vdots13`
`<=>k=13k+4` hoặc `k=13k-4`
`<=>k=13k+-4`
`<=>13.(n-1)=(13k+-4)^2-16`
`<=>13.(n-1)=13^2 k^2+-104k+16-16`
`<=>13.(n-1)=13^2 . k^2+-104k`
`<=>n-1=13k^2+-8k`
`<=>n=13k^2+-8k+1`
Vậy để `C=13n+3` là số chính phương thì `n=13k^2+-8k+1`
`d)`
`D=n^2+n+1589`
Đặt `D=n^2+n+1589=k^2`
`<=>n^2+n+1589-k^2=0`
`<=>4.(n^2+n+1589-k^2)=0`
`<=>4n^2+4n+6356-4k^2=0`
`<=>(2n)^2+2.2n.1+1+6355-(2k)^2=0`
`<=>(2n+1)^2-(2k)^2=-6355`
`<=>(2k)^2-(2n+1)^2=6355`
`<=>(2k+2n+1)(2k-2n-1)=6355`
Ta có:
`2k+2n+1>2k-2n-1` và `k;n` là số tự nhiên
`<=>(2k+2n+1)(2k-2n-1)=155.41=205.31=1271.5=6355.1`
TH`1`:`(2k+2n+1)(2k-2n-1)=155.41`
`{(2k+2n+1=155),(2k-2n-1=41):}`
`<=>{(2k+2n=154),(2k-2n=42):}`
`<=>{(4k=196),(2k-2n=42):}`
`<=>{(k=49),(98-2n=42):}`
`<=>{(k=49),(n=28):}`
TH`2`:`(2k+2n+1)(2k-2n-1)=205.31`
`{(2k+2n+1=205),(2k-2n-1=31):}`
`<=>{(2k+2n=204),(2k-2n=32):}`
`<=>{(4k=236),(2k-2n=32):}`
`<=>{(k=59),(118-2n=32):}`
`<=>{(k=59),(n=43):}`
TH`3`:`(2k+2n+1)(2k-2n-1)=1271.5`
`{(2k+2n+1=1271),(2k-2n-1=5):}`
`<=>{(2k+2n=1270),(2k-2n=6):}`
`<=>{(4k=1276),(2k-2n=6):}`
`<=>{(k=319),(638-2n=6):}`
`<=>{(k=319),(n=316):}`
TH`4`:`(2k+2n+1)(2k-2n-1)=6355.1`
`{(2k+2n+1=6355),(2k-2n-1=1):}`
`<=>{(2k+2n=6354),(2k-2n=2):}`
`<=>{(4k=6356),(2k-2n=2):}`
`<=>{(k=1589),(3178-2n=2):}`
`<=>{(k=1589),(n=1588):}`
Vậy để `D=n^2+n+1589` là số chính phương thì `n\in{28;43;316;1588}`
`e)`
`E=2^8+2^11+2^n`
`E=2^8 . (1+2^3+2^(n-8))`
`E=(2^4)^2 . (1^2+2.1.2^2+16+2^(n-8)-16)`
`E=(2^4)^2 . [(1+2^2)^2+2^(n-8)-16]`
Để `E` là số chính phương thì `2^(n-8)-16=0`
`<=>2^(n-8)=16`
`<=>2^(n-8)=2^4`
`<=>n-8=4`
`<=>n=12`
Vậy để `E=2^8+2^11+2^n` là số chính phương thì `n=12`