Tìm số tự nhiên `n` để các tổng sau là số chính phương. a, `A=n^2+2n+12` b, `B=n...

Question

Tìm số tự nhiên `n` để các tổng sau là số chính phương. a, `A=n^2+2n+12` b, `B=n(n+3)` c, `C=13n+3` d, `D=n^2+n+1589` e, `E=2^8+2^11+2^n` Mọi người giúp mình với ạ !

VietJack · Accepted Answer

`a)``A=n^2+2n+12``A=n^2+2n+1+11``A=(n+1)^2+11`Đặt `A=(n+1)^2+11=k^2(k inNN)``<=>(n+1)^2+11=k^2``<=>(n+1)^2-k^2=-11``<=>k^2-(n+1)^2=11``<=>(k-n-1)(k+n+1)=11`Ta có:`k-n-1{(k-n=2),(k+n=10):}``<=>{(2k=12),(k+n=10):}``<=>{(k=6),(n=4):}`Vậy để `A=n^2+2n+12` là số chính phương thì `n=4``b)``B=n.(n+3)``B=n^2+3n`Đặt `n^2+3n=k^2``<=>n^2+3n-k^2=0``<=>4.(n^2+3n-k^2)=0``<=>4n^2+12n-4k^2=0``<=>(2n)^2+2.2n.3+3^2-(2k)^2=9``<=>(2n+3)^2-(2k)^2=9``<=>(2n+3+2k)(2n+3-2k)=9`Ta có:`2n+3+2kge2n+3-2k` và `n;k` là số tự nhiên`<=>(2n+3+2k)(2n+3-2k)=9.1=3.3`TH`1`:`(2n+3+2k)(2n+3-2k)=3.3``{(2n+2k=0),(2n-2k=0):}``<=>{(n=0),(k=0):}` TH`2`:`(2n+3+2k)(2n+3-2k)=9.1``{(2n+3+2k=9),(2n+3-2k=1):}``<=>{(2n+2k=6),(2n-2k=-2):}``<=>{(4n=4),(2n-2k=-2):}``<=>{(n=1),(2-2k=-2):}``<=>{(n=1),(k=2):}`Vậy để `B=n.(n+3)` là số chính phương thì `n in{0;1}``c)``C=13n+3`Đặt `C=13n+3=k^2``<=>13n+3-16=k^2-16``<=>13.(n-1)=(k-4)(k+4)`Ta có:`13` là số nguyên tố`13.(n-1) vdots13``<=>k-4 vdots13` hoặc `k+4 vdots13``<=>k=13k+4` hoặc `k=13k-4``<=>k=13k+-4``<=>13.(n-1)=(13k+-4)^2-16``<=>13.(n-1)=13^2 k^2+-104k+16-16``<=>13.(n-1)=13^2 . k^2+-104k``<=>n-1=13k^2+-8k``<=>n=13k^2+-8k+1`Vậy để `C=13n+3` là số chính phương thì `n=13k^2+-8k+1``d)``D=n^2+n+1589`Đặt `D=n^2+n+1589=k^2``<=>n^2+n+1589-k^2=0``<=>4.(n^2+n+1589-k^2)=0``<=>4n^2+4n+6356-4k^2=0``<=>(2n)^2+2.2n.1+1+6355-(2k)^2=0``<=>(2n+1)^2-(2k)^2=-6355``<=>(2k)^2-(2n+1)^2=6355``<=>(2k+2n+1)(2k-2n-1)=6355`Ta có:`2k+2n+1>2k-2n-1` và `k;n` là số tự nhiên`<=>(2k+2n+1)(2k-2n-1)=155.41=205.31=1271.5=6355.1`TH`1`:`(2k+2n+1)(2k-2n-1)=155.41``{(2k+2n+1=155),(2k-2n-1=41):}``<=>{(2k+2n=154),(2k-2n=42):}``<=>{(4k=196),(2k-2n=42):}``<=>{(k=49),(98-2n=42):}``<=>{(k=49),(n=28):}`TH`2`:`(2k+2n+1)(2k-2n-1)=205.31``{(2k+2n+1=205),(2k-2n-1=31):}``<=>{(2k+2n=204),(2k-2n=32):}``<=>{(4k=236),(2k-2n=32):}``<=>{(k=59),(118-2n=32):}``<=>{(k=59),(n=43):}`TH`3`:`(2k+2n+1)(2k-2n-1)=1271.5``{(2k+2n+1=1271),(2k-2n-1=5):}``<=>{(2k+2n=1270),(2k-2n=6):}``<=>{(4k=1276),(2k-2n=6):}``<=>{(k=319),(638-2n=6):}``<=>{(k=319),(n=316):}`TH`4`:`(2k+2n+1)(2k-2n-1)=6355.1``{(2k+2n+1=6355),(2k-2n-1=1):}``<=>{(2k+2n=6354),(2k-2n=2):}``<=>{(4k=6356),(2k-2n=2):}``<=>{(k=1589),(3178-2n=2):}``<=>{(k=1589),(n=1588):}`Vậy để `D=n^2+n+1589` là số chính phương thì `n in{28;43;316;1588}``e)``E=2^8+2^11+2^n``E=2^8 . (1+2^3+2^(n-8))``E=(2^4)^2 . (1^2+2.1.2^2+16+2^(n-8)-16)``E=(2^4)^2 . [(1+2^2)^2+2^(n-8)-16]`Để `E` là số chính phương thì `2^(n-8)-16=0``<=>2^(n-8)=16``<=>2^(n-8)=2^4``<=>n-8=4``<=>n=12`Vậy để `E=2^8+2^11+2^n` là số chính phương thì `n=12`

VietJack · Answer

a) n2+2n+12n2+2n+12 là số chính phương nên n2+2n+12=m2≥0n2+2n+12=m2≥0

Xét m = 0 thì n2+2n+12=0n2+2n+12=0 (1)

Đặt Δ=b2−4ac=22−4.1.12<0Δ=b2−4ac=22−4.1.12<0

Do Δ<0Δ<0 nên (1) vô nghiệm (*)

Mặt khác n là số tự nhiên nên n2+2n+12n2+2n+12 là số tự nhiên nên m≥1m≥1

Xét n2+2n+12≥1⇔n2+2n+11≥0n2+2n+12≥1⇔n2+2n+11≥0 (2)

Đặt Δ=b2−4ac=22−4.1.11<0Δ=b2−4ac=22−4.1.11<0

Do Δ<0Δ<0 nên (2) vô nghiệm (**)

Từ (*) và (**),ta dễ dàng suy ra không có số n nào thỏa mãn n2+2n+12n2+2n+12 là số chính phương (không chắc)

2 câu trả lời 349

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9