ĐỀ THI CHỌN LỌC TOÁN CAO CẤP (CẤP ĐỘ ĐỘI TUYỂN QUỐC TẾ)
MÔN: ĐẠI SỐ ĐA TUYẾN TÍNH & GIẢI TÍCH HÀM THỰC
Thời gian làm bài: 120 phút (Không sử dụng tài liệu)
Câu 1 (2,5 điểm).
Cho \(A, B \in M_n(\mathbb{R})\) là hai ma trận vuông thực cấp n thỏa mãn điều kiện giao hoán bậc hai:
\(A^{2}+B^{2}=AB\)
Chứng minh rằng nếu AB - BA là một ma trận khả nghịch thì n phải là một số chia hết cho 3.
Câu 2 (2,5 điểm).
Cho \(A \in M_n(\mathbb{C})\) là ma trận vuông cấp n với các phần tử phức thỏa mãn Tr(A) = 0 (vết của ma trận bằng 0). Chứng minh rằng tồn tại hai ma trận \(X, Y \in M_n(\mathbb{C})\) sao cho:
\(A=XY-YX\)
Câu 3 (2,5 điểm).
Cho hàm số \(f: [0, 1] \to \mathbb{R}\) khả vi liên tục trên \([0, 1]\) và thỏa mãn điều kiện tích phân:
\(\int _{0}^{1}f(x)\,dx=0\)
Chứng minh bất đẳng thức:
\(\left|{}\int _{0}^{1}xf(x)\,dx\right|{}\le \frac{1}{12}\max _{x\in }|{}f^{\prime }(x)|{}\)
Tìm tất cả các hàm số f(x) để dấu đẳng thức xảy ra.
Câu 4 (2,5 điểm).
Xét dãy hàm số \(\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\) xác định trên \([0, 1]\) theo công thức truy hồi:
\(f_{0}(x)=1,\quad f_{n+1}(x)=1+\int _{0}^{x}f_{n}(t-t^{2})\,dt\quad (\forall n\ge 0,x\in [0,1])\)
1. Chứng minh rằng dãy hàm \(\{f_n(x)\}\) hội tụ đều trên đoạn \([0, 1]\) đến một hàm số f(x) khả vi vô hạn lần.
2. Chứng minh rằng nghiệm giới hạn f(x) thỏa mãn hệ thức f(1) < 2.
HẾT