Để chứng minh rằng tứ giác \( BPQM \) là hình bình hành trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta sẽ làm theo các bước sau:

### 1. Xác định các điểm

- Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).
- Gọi \( P \) và \( Q \) lần lượt là hình chiếu của \( B \) và \( C \) trên đường thẳng \( AM \).

### 2. Chứng minh tứ giác \( BPQM \) là hình bình hành

Để chứng minh \( BPQM \) là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện của nó song song và bằng nhau.

#### a) Chứng minh \( BP \parallel MQ \) và \( BM = MC \)

1. **Tính chất của trung điểm**: Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BM = MC \).

2. **Chứng minh các cạnh song song**:
- Từ tính chất hình chiếu trong tam giác vuông, ta có:
- \( BP \) là hình chiếu của \( B \) trên \( AM \).
- \( CQ \) là hình chiếu của \( C \) trên \( AM \).
- Do đó, \( BP \) và \( CQ \) đều vuông góc với \( AM \).

3. Vì \( BP \) và \( CQ \) đều vuông góc với \( AM \), nên \( BP \parallel MQ \).

#### b) Chứng minh \( PQ \parallel BM \)

1. **Chứng minh các cạnh song song**:
- Tương tự, từ tính chất hình chiếu trong tam giác vuông, ta có:
- \( PQ \) là đoạn thẳng nối hai hình chiếu \( P \) và \( Q \) lên \( AM \).
- \( BM \) cũng vuông góc với \( AM \).

2. Do đó, \( PQ \parallel BM \).

### 3. Kết luận

Từ những tính chất đã chứng minh, ta có:

- \( BP \parallel MQ \) và \( BM \parallel PQ \).
- Hơn nữa, vì \( BM = MC \) và \( BP = MQ \), nên hai cặp cạnh đối diện \( BP \) và \( MQ \) bằng nhau, cùng với \( BM \) và \( PQ \) cũng bằng nhau.

Vậy tứ giác \( BPQM \) là hình bình hành.