Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=a,AC=b,AB=c và đường cao AH=h. Gọi V1, V2, V3 thứ tự là thể tích của những hình sinh ra khi quay tam giác ABC một vòng xung quanh các cạnh BC, AB và AC. Chứng minh 1/V1^2=1/V2^2+1/V3^2 (Hãy sắp xếp các câu sau để được lời giải đúng) 1. Quay tam giác quanh cạnh AB ta được hình nón có bán kính đáy là AC=b, đường cao AB=c nên V2=1/3 pi b^2c=>1/V2^2=9/ pi^2 b^4 c^2 (2) 2. Quay tam giác quanh cạnh BC ta được hai hình nón có bán kính đáy là h, đường cao

Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=a,AC=b,AB=c và đường cao AH=h. Gọi V1, V2, V3

Linh

· 23:44 22/06/2021

Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=a,AC=b,AB=c và đường cao AH=h. Gọi $V_{1}, V_{2}, V_{3}$ thứ tự là thể tích của những hình sinh ra khi quay tam giác ABC một vòng xung quanh các cạnh BC, AB và AC. Chứng minh

$\frac{1}{V_{1}^{2}} = \frac{1}{V_{2}^{2}} + \frac{1}{V_{3}^{2}}$

(Hãy sắp xếp các câu sau để được lời giải đúng)

1. Quay tam giác quanh cạnh AB ta được hình nón có bán kính đáy là AC=b, đường cao AB=c nên $V_{2} = \frac{1}{3} π b^{2} c \Rightarrow \frac{1}{V_{2}^{2}} = \frac{9}{π^{2} b^{4} c^{2}} (2)$

2. Quay tam giác quanh cạnh BC ta được hai hình nón có bán kính đáy là h, đường cao lần lượt là HC và HB nên $V_{1} = \frac{1}{3} π h^{2} . H C + \frac{1}{3} π h^{2} . H B = \frac{1}{3} π h^{2} . a = \frac{π b^{2} c^{2}}{3 a}$

3. Kết hợp với (1), ta có $\frac{1}{V_{1}^{2}} = \frac{1}{V_{2}^{2}} + \frac{1}{V_{3}^{2}}$

4. Tương tự $\frac{1}{V_{3}^{2}} = \frac{9}{π^{2} b^{2} c^{4}} (3)$

5. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có $b c = a h \Rightarrow h = \frac{b c}{a}$

6. Suy ra $\frac{1}{V_{1}^{2}} = \frac{9 a^{2}}{π^{2} b^{4} c^{4}} (1)$

7. Từ (2) và (3) ta có $\frac{1}{V_{2}^{2}} + \frac{1}{V_{3}^{2}} = \frac{9}{π^{2} b^{4} c^{2}} + \frac{9}{π^{2} b^{2} c^{4}} = \frac{9 (b^{2} + c^{2})}{π^{2} b^{4} c^{4}} = \frac{9 a^{2}}{π^{2} b^{4} c^{4}}$