Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

1, Chứng minh tứ giác BDHF là tứ giác nội tiếp

2, Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp

3, Tìm thêm các tứ giác nội tiếp

4, Chứng minh FC là phân giác của góc DFE

5, Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp Δ DEF

6, Lấy K đối xứng với H qua BC. Chứng minh K thuộc đường tròn tâm O

7, Chứng minh OA vuông góc với FE

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D.

Chứng minh :

a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường tròn

b) CK.CD=CA.CB

c) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàng

d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Bx của (O). Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB có chứa Bx, lấy điểm M thuộc (O) (M khác A và B) sao cho MA>MB. Tia AM cắt Bx tại C. Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với (O) (D là tiếp điểm)

1, Chứng minh OC $\perp$BD

2, Chứng minh bốn điểm O,B,C,D cùng thuộc một đường tròn

3, Chứng minh $\widehat{CMD}=\widehat{CDA}$

4, Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OMH đạt giá trị lớn nhất.