Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

$Cho điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$ vẽ hai tiếp tuyến $AB,\,\,AC$ lần lượt tại $B,C$ của $\left( O \right).$ 1) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn. 2) Vẽ đường kính $BD$ của $\left( O \right),$ đường thẳng đi qua điểm $O$ vuông góc với $AD$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $E.$ Chứng minh $ED$ là tiếp tuyến của $\left( O \right).$ (ảnh 1)$

1) Vì $AB,\,\,AC$ lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $B,C$ nên $AB \bot OB,\,\,AC \bot OC.$

Do $\Delta OAB$ vuông tại $B$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta OAB$ có tâm là trung điểm của cạnh huyền $OA.$ Tức là ba điểm $O,\,\,A,\,\,B$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OA.$

Chứng minh tương tự đối với $\Delta OAC$ vuông tại $C$ ta có ba điểm $O,\,\,A,\,\,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OA.$

Vậy tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OA.$

2) Gọi $G$ là giao điểm của $AD$ và $OE.$ Nối $CD,\,\,GC.$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $BD$ là đường kính nên $\widehat {BCD} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó $\widehat {DCE} = 90^\circ $ nên $\Delta CDE$ vuông tại $C,$ chứng minh tương tự câu a, ta có ba điểm $C,\,\,D,\,\,E$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $DE.$

Ta có $OE \bot CD$ tại $G$ nên $\widehat {OGA} = \widehat {DGE} = 90^\circ .$

Tam giác $DGE$ vuông tại $G$ nên ba điểm $D,\,\,G,\,\,E$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $DE.$

Do đó tứ giác $CGDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $DE.$

Suy ra $\widehat {CDE} = \widehat {CGE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CE)$. (1)

Chứng minh tương tự, ta có tứ giác $OACG$ nội tiếp đường tròn đường kính $OA.$

Suy ra $\widehat {CGO} + \widehat {OAC} = 180^\circ $ (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp)

Mà $\widehat {CGO} + \widehat {CGE} = 180^\circ $ (hai góc kề bù)

Do đó $\widehat {OAC} = \widehat {CGE}$.

Theo câu a, tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OA$ nên \[\widehat {OAC} = \widehat {OBC}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $OC)$.

Suy ra $\widehat {CGE} = \widehat {OBC}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat {CDE} = \widehat {OBC}$ hay $\widehat {CDE} = \widehat {DBC}.$

Lại có $\widehat {DBC} + \widehat {BDC} = 90^\circ $ (tổng hai góc nhọn của $\Delta BCD$ vuông tại $C)$

Suy ra $\widehat {CDE} + \widehat {BDC} = 90^\circ $ hay $\widehat {ODE} = 90^\circ $

Do đó $ED \bot OD$ tại điểm $D$ thuộc đường tròn $\left( O \right)$

Vậy $ED$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right).$

...Xem thêm

Answer 2