1) Gọi \(x{\rm{\;(m)}}\) là chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật \(\left( {x > 0} \right)\).

Chiều dài của thửa đất hình chữ nhật đó là \(x + 19{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Diện tích của thửa đất hình chữ nhật đó là: \(x\left( {x + 19} \right){\rm{\;(}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)

Theo bài, diện tích thửa đất bằng \(150\,\,\;{{\rm{m}}^2}\) nên ta có phương trình: \(x\left( {x + 19} \right) = 150\)

Giải phương trình:

\(x\left( {x + 19} \right) = 150\)

\({x^2} + 19x - 150 = 0\)

\({x^2} - 6x + 25x - 150 = 0\)

\(x\left( {x - 6} \right) + 25\left( {x - 6} \right) = 0\)

\(\left( {x - 6} \right)\left( {x + 25} \right) = 0\)

\(x - 6 = 0\) hoặc \(x + 25 = 0\)

\(x = 6\) (thỏa mãn) hoặc \(x = - 25\) (không thỏa mãn).

Như vậy, chiều rộng của thửa đất là \(6{\rm{\;m}}\) và chiều dài của thửa đất là \(6 + 19 = 25{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Số mét tường cần xây là: \(2 \cdot \left( {6 + 25} \right) - 5 = 57{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Số tiền dư định xây bức tường đó là: \(57 \cdot 2 = 114\) (triệu đồng).

2) ⦁ Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta có:

\[P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \frac{2}{{x - 1}}\]

   \[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

   \[ = \frac{{x + \sqrt x - \left( {x - \sqrt x } \right) - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]\[ = \frac{{x + \sqrt x - x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

   \[ = \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x + 1}}.\]

Như vậy, với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thì \[P = \frac{2}{{\sqrt x + 1}}.\]

⦁ Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta có: \(\sqrt x + 1 > 0\) nên \(\frac{2}{{\sqrt x + 1}} > 0\) tức là \(P > 0.\)

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta cũng có \(\sqrt x + 1 \ge 1\) nên \(\frac{2}{{\sqrt x + 1}} \le 2\) tức là \(P \le 2.\)

Do đó, ta có \(0 < P \le 2.\)

Để \(P\) nhận giá trị nguyên thì \(P \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\)

Với \(P = 1,\) ta có \[\frac{2}{{\sqrt x + 1}} = 1,\] suy ra \(\sqrt x + 1 = 2\) do đó \(\sqrt x = 1,\) nên \(x = 1\) (không thỏa mãn).

Với \(P = 2,\) ta có \[\frac{2}{{\sqrt x + 1}} = 2,\] suy ra \(\sqrt x + 1 = 1\) do đó \(\sqrt x = 0,\) nên \(x = 0\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 0\) thì \(P\) nhận giá trị nguyên.

3) Độ dài dây \(AB\) nhỏ nhất khi \(A\) và \(B\) có vị trí như hình vẽ.

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có: \[HB = AB \cdot \sin \widehat {BAH}\]

Suy ra \[AB = \frac{{HB}}{{\sin \widehat {BAH}}} \approx \frac{{3,146}}{{\sin 4^\circ }} \approx 45,10{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\]

Vậy độ dài dây \(AB\) nhỏ nhất khoảng \(45,10{\rm{\;m}}.\)