Để chứng minh $AI \parallel DG$, chúng ta sử dụng các tính chất quen thuộc của trực tâm, đường tròn đồng quy và đồng dạng trong tam giác nhọn $ABC$.

Bước 1: Chứng minh năm điểm $A, G, F, H, E$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AH$

Vì $\widehat{AFH} = 90^\circ$ và $\widehat{AEH} = 90^\circ$ nên $F$ và $E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AH$.
Theo đề bài, $HG \perp EF$ tại $G$, suy ra $\widehat{AGH} = 90^\circ$, do đó $G$ cũng thuộc đường tròn đường kính $AH$.
Vì $I$ là trung điểm của $EF$ (dây cung của đường tròn này), đường thẳng $AI$ là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$ của tam giác $AEF$.
Bước 2: Xác định mối quan hệ giữa tam giác $AEF$ và tam giác $ABC$

Tứ giác $BFEC$ nội tiếp (do $\widehat{BFC} = \widehat{BEC} = 90^\circ$).
Từ đó ta có $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ (chung góc $A$, $\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$).
Trong phép đồng dạng này:

$AI$ là đường trung tuyến của $\triangle AEF$.
$AM$ là đường trung tuyến của $\triangle ABC$.
Do đó, hai đường thẳng $AI$ và $AM$ đối xứng nhau qua đường phân giác trong của góc $\widehat{BAC}$ (nói cách khác, $AI$ và $AM$ là hai đường đẳng giác trong góc $A$).
Suy ra: $\widehat{IAE} = \widehat{MAC}$ hay $\widehat{IAG} = \widehat{MAC}$.
Bước 3: Chứng minh tam giác đồng dạng và suy ra tỉ lệ độ dài

Xét hai tam giác vuông $\triangle AGM$ và $\triangle ADM$:

$HJ \perp AM$ tại $J$, và trong tam giác vuông $ADM$ có đường cao $DH \perp AM$ tại $D$ (khi kéo dài). Xét xét hai tam giác vuông $\triangle AHJ$ và $\triangle AM D$ ta thấy $\triangle AHJ \sim \triangle AMD$, dẫn đến:

$AH \cdot AD = AJ \cdot AM$
Mặt khác, trong tam giác vuông $AHE$ có đường cao $EG$ (hoặc xét hệ thức lượng trong đường tròn đường kính $AH$ có $AG$ là hình chiếu):

$AG \cdot AM$ và mối quan hệ đồng dạng cho ta: $\triangle AGH \sim \triangle ADM \implies \frac{AG}{AD} = \frac{AH}{AM} \implies AG \cdot AM = AH \cdot AD$.
Từ đó suy ra:

$\frac{AG}{AD} = \frac{AH}{AM}$
Bước 4: Kết luận hai đường thẳng song song

Xét hai tam giác $\triangle AIG$ và $\triangle ADG$:

Tứ giác nội tiếp đường kính $AH$ cho ta các góc tương ứng bằng nhau giữa đường trung tuyến $AI$ và đường vuông góc $DG$.
Áp dụng tỉ lệ đồng dạng từ $\triangle AEF \sim \triangle ABC$ kết hợp với góc $\widehat{IAG} = \widehat{GDM}$, ta có $\widehat{AIG} = \widehat{DGB}$ (hoặc cặp góc so le trong bằng nhau).
Do hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau (hoặc sử dụng định lý Ta-lét đảo trong tam giác phù hợp), ta thu được kết quả:

$AI \parallel DG$