Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

p = 2 và p = 3 là tất cả các số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải chi tiết
Đặt $n = p^2 + 59$. Ta cần tìm các số nguyên tố $p$ sao cho số ước nguyên dương của $n$ (ký hiệu là $d(n)$) bằng 6.
Trường hợp 1: Xét các số nguyên tố nhỏ ($p \le 3$)

Với $p = 2$:
$n = 2^2 + 59 = 63 = 3^2 \times 7^1$.
Số ước nguyên dương của $63$ là: $d(63) = (2 + 1)(1 + 1) = 6$ (Thỏa mãn).
Với $p = 3$:
$n = 3^2 + 59 = 68 = 2^2 \times 17^1$.
Số ước nguyên dương của $68$ là: $d(68) = (2 + 1)(1 + 1) = 6$ (Thỏa mãn).

Trường hợp 2: Xét các số nguyên tố lớn hơn 3 ($p > 3$)
Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 nên $p$ là số lẻ và không chia hết cho 3.

Xét tính chất chia hết cho 8:
Do $p$ lẻ nên $p^2 \equiv 1 \pmod 8$.
$\Rightarrow n = p^2 + 59 \equiv 1 + 59 = 60 \equiv 4 \pmod 8$.
Điều này chứng tỏ $n$ chia hết cho $4$ nhưng không chia hết cho $8$. Hay thừa số nguyên tố $2$ trong phân tích của $n$ có số mũ đúng bằng 2.
Xét tính chất chia hết cho 3:
Do $p$ không chia hết cho 3 nên $p^2 \equiv 1 \pmod 3$.
$\Rightarrow n = p^2 + 59 \equiv 1 + 59 = 60 \equiv 0 \pmod 3$.
Điều này chứng tỏ $n$ luôn chia hết cho 3.

Từ hai điều trên, ta có thể phân tích biểu thức $n$ dưới dạng thừa số nguyên tố như sau:
$n = 2^2 \times 3^k \times m$
(Trong đó $k \ge 1$ và $m$ là số nguyên dương không chia hết cho cả 2 và 3).
Khi đó, số ước nguyên dương của $n$ là:
$d(n) = (2 + 1)(k + 1) \cdot d(m) = 3(k + 1) \cdot d(m)$
Theo đề bài, ta có $d(n) = 6$:
$\Rightarrow 3(k + 1) \cdot d(m) = 6 \implies (k + 1) \cdot d(m) = 2$
Vì $k \ge 1 \implies k + 1 \ge 2$ và $d(m) \ge 1$, phương trình trên chỉ có một nghiệm duy nhất:
$\begin{cases} k + 1 = 2 \\ d(m) = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} k = 1 \\ m = 1 \end{cases}$
Suy ra $n = 2^2 \times 3^1 \times 1 = 12$.
Tuy nhiên, vì $p \ge 5$ nên $n = p^2 + 59 \ge 5^2 + 59 = 84$, mâu thuẫn với $n = 12$.
Do đó, không có số nguyên tố $p > 3$ nào thỏa mãn.
Kết luận
Các số nguyên tố cần tìm là $p \in \{2; 3\}$.
Nếu bạn muốn tiếp tục giải các bài toán khác trong đề hoặc cần làm rõ phần nào trong lời giải này, hãy chia sẻ nhé!

...Xem thêm

Answer 2

p = 2 và p = 3 là tất cả các số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải chi tiết
Đặt $n = p^2 + 59$. Ta cần tìm các số nguyên tố $p$ sao cho số ước nguyên dương của $n$ (ký hiệu là $d(n)$) bằng 6.
Trường hợp 1: Xét các số nguyên tố nhỏ ($p \le 3$)

Với $p = 2$:
$n = 2^2 + 59 = 63 = 3^2 \times 7^1$.
Số ước nguyên dương của $63$ là: $d(63) = (2 + 1)(1 + 1) = 6$ (Thỏa mãn).
Với $p = 3$:
$n = 3^2 + 59 = 68 = 2^2 \times 17^1$.
Số ước nguyên dương của $68$ là: $d(68) = (2 + 1)(1 + 1) = 6$ (Thỏa mãn).

Trường hợp 2: Xét các số nguyên tố lớn hơn 3 ($p > 3$)
Vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn 3 nên $p$ là số lẻ và không chia hết cho 3.

Xét tính chất chia hết cho 8:
Do $p$ lẻ nên $p^2 \equiv 1 \pmod 8$.
$\Rightarrow n = p^2 + 59 \equiv 1 + 59 = 60 \equiv 4 \pmod 8$.
Điều này chứng tỏ $n$ chia hết cho $4$ nhưng không chia hết cho $8$. Hay thừa số nguyên tố $2$ trong phân tích của $n$ có số mũ đúng bằng 2.
Xét tính chất chia hết cho 3:
Do $p$ không chia hết cho 3 nên $p^2 \equiv 1 \pmod 3$.
$\Rightarrow n = p^2 + 59 \equiv 1 + 59 = 60 \equiv 0 \pmod 3$.
Điều này chứng tỏ $n$ luôn chia hết cho 3.

Từ hai điều trên, ta có thể phân tích biểu thức $n$ dưới dạng thừa số nguyên tố như sau:
$n = 2^2 \times 3^k \times m$
(Trong đó $k \ge 1$ và $m$ là số nguyên dương không chia hết cho cả 2 và 3).
Khi đó, số ước nguyên dương của $n$ là:
$d(n) = (2 + 1)(k + 1) \cdot d(m) = 3(k + 1) \cdot d(m)$
Theo đề bài, ta có $d(n) = 6$:
$\Rightarrow 3(k + 1) \cdot d(m) = 6 \implies (k + 1) \cdot d(m) = 2$
Vì $k \ge 1 \implies k + 1 \ge 2$ và $d(m) \ge 1$, phương trình trên chỉ có một nghiệm duy nhất:
$\begin{cases} k + 1 = 2 \\ d(m) = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} k = 1 \\ m = 1 \end{cases}$
Suy ra $n = 2^2 \times 3^1 \times 1 = 12$.
Tuy nhiên, vì $p \ge 5$ nên $n = p^2 + 59 \ge 5^2 + 59 = 84$, mâu thuẫn với $n = 12$.
Do đó, không có số nguyên tố $p > 3$ nào thỏa mãn.
Kết luận
Các số nguyên tố cần tìm là $p \in \{2; 3\}$.
Nếu bạn muốn tiếp tục giải các bài toán khác trong đề hoặc cần làm rõ phần nào trong lời giải này, hãy chia sẻ nhé!

Answer 3

ố là laaa

2 câu trả lời 35

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9