Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

p₁ = p₂ = p₃ = p₄ = p₅ = p₆ = p₇ = 7 là nghiệm duy nhất của bài toán.
📊 Lời giải chi tiết
Chúng ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng định lý Fermat nhỏ. Theo định lý Fermat nhỏ, với mọi số nguyên tố p:

Nếu p ≠ 7, thì $p^6 \equiv 1 \pmod 7$.
Nếu p = 7, thì $p^6 \equiv 0 \pmod 7$.

Giả sử trong 7 số nguyên tố đã cho, có đúng k số bằng 7 (với 0 ≤ k ≤ 7).
1. Trường hợp k = 0 (Không có số nguyên tố nào bằng 7)

Vế trái (VT): Vì không có số nào bằng 7 nên mỗi $p_i^6 \equiv 1 \pmod 7$. Do đó, tổng của chúng là: $\text{VT} \equiv 1 \times 7 = 7 \equiv 0 \pmod 7$.
Vế phải (VP): Vì tất cả các số nguyên tố đều khác 7, nên tích $p_1 p_2 \dots p_7$ không chia hết cho 7, tức là $\text{VP} \not\equiv 0 \pmod 7$.
Vế trái chia hết cho 7 nhưng vế phải không chia hết cho 7. Trường hợp này vô lý.

2. Trường hợp k > 0 (Có ít nhất một số nguyên tố bằng 7)

Vế phải (VP): Vì tích có chứa thừa số 7 nên $\text{VP} \equiv 0 \pmod 7$ (chia hết cho 7).
Vế trái (VT): Có k số bằng 7 (số dư khi nâng lên lũy thừa 6 là 0) và 7-k số khác 7 (số dư khi nâng lên lũy thừa 6 là 1).
$\text{VT} \equiv (7-k) \times 1 + k \times 0 = 7 - k \equiv -k \pmod 7$
Để vế trái bằng vế phải, ta phải có $-k \equiv 0 \pmod 7$, nghĩa là k phải chia hết cho 7.
Vì 0 < k ≤ 7, giá trị duy nhất thỏa mãn là k = 7.

3. Thử lại với k = 7
Khi cả 7 số nguyên tố đều bằng 7 ($p_1 = p_2 = \dots = p_7 = 7$):

$\text{Vế trái} = 7^6 + 7^6 + \dots + 7^6 = 7 \times 7^6 = 7^7$
$\text{Vế phải} = 7 \times 7 \times \dots \times 7 = 7^7$

Hai vế hoàn toàn bằng nhau.

...Xem thêm

Answer 2

p₁ = p₂ = p₃ = p₄ = p₅ = p₆ = p₇ = 7 là nghiệm duy nhất của bài toán.
📊 Lời giải chi tiết
Chúng ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng định lý Fermat nhỏ. Theo định lý Fermat nhỏ, với mọi số nguyên tố p:

Nếu p ≠ 7, thì $p^6 \equiv 1 \pmod 7$.
Nếu p = 7, thì $p^6 \equiv 0 \pmod 7$.

Giả sử trong 7 số nguyên tố đã cho, có đúng k số bằng 7 (với 0 ≤ k ≤ 7).
1. Trường hợp k = 0 (Không có số nguyên tố nào bằng 7)

Vế trái (VT): Vì không có số nào bằng 7 nên mỗi $p_i^6 \equiv 1 \pmod 7$. Do đó, tổng của chúng là: $\text{VT} \equiv 1 \times 7 = 7 \equiv 0 \pmod 7$.
Vế phải (VP): Vì tất cả các số nguyên tố đều khác 7, nên tích $p_1 p_2 \dots p_7$ không chia hết cho 7, tức là $\text{VP} \not\equiv 0 \pmod 7$.
Vế trái chia hết cho 7 nhưng vế phải không chia hết cho 7. Trường hợp này vô lý.

2. Trường hợp k > 0 (Có ít nhất một số nguyên tố bằng 7)

Vế phải (VP): Vì tích có chứa thừa số 7 nên $\text{VP} \equiv 0 \pmod 7$ (chia hết cho 7).
Vế trái (VT): Có k số bằng 7 (số dư khi nâng lên lũy thừa 6 là 0) và 7-k số khác 7 (số dư khi nâng lên lũy thừa 6 là 1).
$\text{VT} \equiv (7-k) \times 1 + k \times 0 = 7 - k \equiv -k \pmod 7$
Để vế trái bằng vế phải, ta phải có $-k \equiv 0 \pmod 7$, nghĩa là k phải chia hết cho 7.
Vì 0 < k ≤ 7, giá trị duy nhất thỏa mãn là k = 7.

3. Thử lại với k = 7
Khi cả 7 số nguyên tố đều bằng 7 ($p_1 = p_2 = \dots = p_7 = 7$):

$\text{Vế trái} = 7^6 + 7^6 + \dots + 7^6 = 7 \times 7^6 = 7^7$
$\text{Vế phải} = 7 \times 7 \times \dots \times 7 = 7^7$

Hai vế hoàn toàn bằng nhau.

1 câu trả lời 29

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9