Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Trên đường tròn (O) bán kính R, lấy các điểm A, B, C, D sao cho sđ AB =60 độ, sđ BC =90 độ (ảnh 2)

a) ⦁ Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB.

Do A, B thuộc đường tròn (O) nên OA = OB = R.

Lại có $s đ \overset{⏜}{A B} = 60 °$ nên $\hat{A O B} = 60 °$ (góc ở tâm chắn cung AB của đường tròn (O)).

Do đó, tam giác OAB là tam giác đều với cạnh AB = OA = OB = R nên có tâm đường tròn ngoại tiếp là G và bán kính đường tròn ngoại tiếp là $\frac{R \sqrt{3}}{3}$ .

⦁ Do $s đ \overset{⏜}{B C} = 90 °$ nên $\hat{B O C} = 90 °$ (góc ở tâm chắn cung BC của đường tròn (O)).

Do đó tam giác OBC vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = OB² + OC²

Suy ra $B C = \sqrt{O B^{2} + O C^{2}} = \sqrt{R^{2} + R^{2}} = R \sqrt{2}$ nên tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp của ∆OBC lần lượt là trung điểm E của BC và $\frac{R \sqrt{2}}{2}$ .

⦁ Tương tự tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAD lần lượt là trung điểm F của AD và $\frac{R \sqrt{2}}{2}$ .

⦁ Gọi H là trung điểm của DC và giao điểm của tia OH và cung nhỏ CD là K.

Do $s đ \overset{⏜}{C D} = 120^{°}$ nên $\hat{D O C} = 120 °$ (góc nội tiếp chắn cung DC của đường tròn (O)).

Trong tam giác ODC cân tại O có OH là trung tuyến nên đồng thời là phân giác của $\hat{D O C}$ .

Suy ra $\hat{D O H} = \hat{C O H} = \frac{1}{2} \hat{D O C} = \frac{1}{2} \cdot 120 ° = 60 °$ .

Lại có OD = OK = OC nên ∆DOK, ∆COK là tam giác đều.

Suy ra KD = KO = KC = R.

Vậy tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ODC lần lượt là K và R.

b) Xét ∆OHC vuông tại H có $H C = O C \cdot \sin \hat{C O H} = R \cdot \sin 60 ° = \frac{R \sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra $D C = 2 H C = 2 \cdot \frac{R \sqrt{3}}{2} = R \sqrt{3}$ .

Xét đường tròn (O) có $\hat{C A B} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{C B} = \frac{1}{2} \cdot 90 ° = 45 °$ (góc nội tiếp chắn cung BC).

Ta có $s đ \overset{⏜}{A B} + s đ \overset{⏜}{B C} + s đ \overset{⏜}{C D} + s đ \overset{⏜}{D A} = 360 °$

Suy ra $s đ \overset{⏜}{D A} = 360 ° - s đ \overset{⏜}{A B} - s đ \overset{⏜}{B C} - s đ \overset{⏜}{C D} = 360 ° - 60 ° - 90 ° - 120 ° = 90 °$

Khi đó, $\hat{D B A} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{D A} = \frac{1}{2} \cdot 90 ° = 45 °$ (góc nội tiếp chắn cung DA).

Do đó $\hat{C A B} = \hat{D B A} = 45 °$ .

Xét ∆ABI có: $\hat{I A B} + \hat{I B A} + \hat{A I B} = 180 °$ .

Suy ra $\hat{A I B} = 180 ° - \hat{I A B} - \hat{I B A} = 180 ° - 45 ° - 45 ° = 90 °$ .

Hay AC vuông góc với BD.

Do đó ∆IAB vuông tại I, ∆IAD vuông tại I, ∆IBC vuông tại I, ∆IDC vuông tại I.

Mặt khác, AB = R, $B C = A D = R \sqrt{2}$ (chứng minh ở câu a) và $D C = R \sqrt{3}$ do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác IAB, IBC, IAD, IDC lần lượt là: $\frac{R}{2}, \frac{R \sqrt{2}}{2}, \frac{R \sqrt{2}}{2}, \frac{R \sqrt{3}}{2} .$

...Xem thêm

Answer 2