Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên OA = OB; O₁ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB nên O₁A = O₁B.

Suy ra OO₁ là đường trung trực của AB.

Tương tự OO₂, O₁O₂ lần lượt là đường trung trực của AC, AM.

b) Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AC, AM, AB; N là giao điểm của QO₂ và AC.

Khi đó O₁Q ⊥ AM, O₁R ⊥ AB nên $\hat{A Q O_{1}} = \hat{A R O_{1}} = 90 °$

Tam giác AQO₁ vuông tại Q nên nội tiếp đường tròn đường kính AO₁.

Tam giác ARO₁ vuông tại R nên nội tiếp đường tròn đường kính AO₁.

Do đó tứ giác AQO₁R nội tiếp đường tròn đường kính AO₁.

Suy ra $\hat{R A Q} + \hat{R O_{1} Q} = 180 °$ (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp bằng 180°).

Nên $\hat{R A Q} = 180 ° - \hat{R O_{1} Q}$ .

Mà $\hat{R O_{1} Q} + \hat{Q O_{1} O} = 180 °$ (hai góc kề bù) suy ra $\hat{Q O_{1} O} = 180 ° - \hat{R O_{1} Q}$ .

Do đó $\hat{Q O_{1} O} = \hat{R A Q} (= 180 ° - \hat{R O_{1} Q})$ (1)

Mặt khác, $\hat{O_{2} N P} = \hat{A N Q}$ (đối đỉnh) nên $90 ° - \hat{O_{2} N P} = 90 ° - \hat{A N Q}$ .

Hay $\hat{N O_{2} P} = \hat{Q A N}$ . (2)

Do AM là phân giác của $\hat{B A C}$ nên $\hat{B A M} = \hat{M A C}$ hay $\hat{R A Q} = \hat{Q A N}$ . (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\hat{Q O_{1} O} = \hat{N O_{2} P}$ hay $\hat{O_{2} O_{1} O} = \hat{O_{1} O_{2} O}$ .

Do đó, tam giác OO₁O₂ cân tại O.

...Xem thêm

Answer 2