Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán:

---

### Bài toán:

Cho tam giác \( \triangle ABC \) có:

- \( AB = 12 \text{ cm} \)
- \( \angle B = 60^\circ \)
- \( \angle C = 45^\circ \)

Yêu cầu:

a) Kẻ đường cao \( AH \) của tam giác \( \triangle ABC \). Tính \( AH \) và \( AC \).

b) Tính độ dài cạnh \( BC \) (làm tròn đến hàng phần mười).

---

### Bước 1: Xác định góc còn lại

- Tổng các góc trong tam giác là \( 180^\circ \), nên:

\[
\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ
\]

---

### Bước 2: Tính các cạnh còn lại bằng định lý sin

Áp dụng định lý sin:

\[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}
\]

Ta có:

- \( AB = 12 \text{ cm} \)
- \( \sin B = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \)
- \( \sin C = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \)
- \( \sin A = \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \)

Tính \( \sin 75^\circ \):

\[
\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.9659
\]

---

### Bước 3: Tính \( AC \)

\[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \implies AC = AB \times \frac{\sin B}{\sin C} = 12 \times \frac{0.866}{0.707} \approx 12 \times 1.2247 = 14.6964 \text{ cm}
\]

---

### Bước 4: Tính \( BC \)

\[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} \implies BC = AB \times \frac{\sin A}{\sin C} = 12 \times \frac{0.9659}{0.707} \approx 12 \times 1.365 = 16.38 \text{ cm}
\]

Làm tròn đến hàng phần mười:

\[
BC \approx 16.4 \text{ cm}
\]

---

### Bước 5: Tính đường cao \( AH \)

- Đường cao \( AH \) hạ từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- Công thức tính đường cao:

\[
AH = BC \times \sin A
\]

Thay số:

\[
AH = 16.38 \times 0.9659 \approx 15.82 \text{ cm}
\]

---

### Tóm tắt kết quả:

- \( AC \approx 14.7 \text{ cm} \)
- \( BC \approx 16.4 \text{ cm} \)
- \( AH \approx 15.8 \text{ cm} \)

---

### Vẽ hình (mô tả):

- Tam giác \( ABC \) với góc \( B = 60^\circ \), góc \( C = 45^\circ \), cạnh \( AB = 12 \text{ cm} \).
- Đường cao \( AH \) từ đỉnh \( A \) vuông góc với cạnh \( BC \).

---

**Kết luận:**

- \( AH \approx 15.8 \text{ cm} \)
- \( AC \approx 14.7 \text{ cm} \)
- \( BC \approx 16.4 \text{ cm} \)

---

1. Hạ đường cao AH
Kẻ \(AH \perp BC\) tại \(H\). Đường cao \(AH\) chia tam giác \(ABC\) thành hai tam giác vuông là \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\).

2. Tính độ dài AH
Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\), ta có mối quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông:
\(\sin (B)=\frac{AH}{AB}\)
Suy ra:
\(AH=AB\times \sin (B)\)
\(AH=12\times \sin (60^{\circ })=12\times \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{\ (cm)}\)

3. Tính độ dài AC
Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\), ta có:
\(\sin (C)=\frac{AH}{AC}\)
Suy ra:
\(AC=\frac{AH}{\sin (C)}\)
\(AC=\frac{6\sqrt{3}}{\sin (45^{\circ })}=\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=6\sqrt{6}\text{\ (cm)}\)

4. Tính độ dài BC
Để tính độ dài cạnh \(BC\), ta tính độ dài hai đoạn thẳng thành phần là \(HB\) và \(HC\):
Trong tam giác vuông \(AHB\):
\(\cos (B)=\frac{HB}{AB}\Rightarrow HB=AB\times \cos (60^{\circ })=12\times \frac{1}{2}=6\text{\ (cm)}\)
Trong tam giác vuông \(AHC\), do góc \(C = 45^\circ\) nên \(\Delta AHC\) là tam giác vuông cân tại \(H\):
\(HC=AH=6\sqrt{3}\text{\ (cm)}\)

Do đó, độ dài cạnh \(BC\) là:
\(BC=HB+HC=6+6\sqrt{3}\text{\ (cm)}\)
Làm tròn kết quả đến hàng phần mười:
\(BC\approx 6+10.392=16.392\approx 16.4\text{\ (cm)}\)