Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Biểu thức có chứa căn thức và nằm ở mẫu số, do đó điều kiện là:
\(x \ge 0\) (để \(\sqrt{x}\) xác định).
\(x \ne 0 \implies x > 0\) (để mẫu số \(\sqrt{x}\) ở biểu thức \(N\) xác định).
\(1 - \sqrt{x} \ne 0 \implies \sqrt{x} \ne 1 \implies x \ne 1\).
\(\sqrt{x} + 1 > 0\) (luôn đúng với mọi \(x > 0\)).

Vậy ĐKXĐ của biểu thức là: \(x > 0\) và \(x \ne 1\).

2. Rút gọn biểu thức \(M\) và \(N\)
Rút gọn \(M\):
\(M=\frac{1}{1-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)
\(M=\frac{(\sqrt{x}+1)-(1-\sqrt{x})}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}\)
\(M=\frac{\sqrt{x}+1-1+\sqrt{x}}{1-x}=\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\)
Rút gọn \(N\):
\(N=\frac{1}{\sqrt{x}}+1=\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

3. Rút gọn biểu thức \(A = M \cdot N\)
Thay \(M\) và \(N\) đã rút gọn vào \(A\):
\(A=\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
Vì \(1 - x = (1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})\), ta có:
\(A=\frac{2\sqrt{x}}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}\cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
Triệt tiêu \(\sqrt{x}\) và \((1 + \sqrt{x})\) ở cả tử và mẫu, ta được:
\(A=\frac{2}{1-\sqrt{x}}\)

4. Tìm \(x\) để \(A > \frac{1}{2}\)
Ta giải bất phương trình:
\(\frac{2}{1-\sqrt{x}}>\frac{1}{2}\)
\(\implies \frac{2}{1-\sqrt{x}}-\frac{1}{2}>0\)
\(\implies \frac{4-(1-\sqrt{x})}{2(1-\sqrt{x})}>0\)
\(\implies \frac{\sqrt{x}+3}{2(1-\sqrt{x})}>0\)
Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt{x} + 3 > 0\) với mọi \(x\) thỏa mãn ĐKXĐ. Do đó, để phân thức lớn hơn \(0\) thì mẫu số phải dương:
\(2(1-\sqrt{x})>0\)
\(\implies 1-\sqrt{x}>0\)
\(\implies \sqrt{x}<1\)
\(\implies x<1\)

Kết hợp với điều kiện xác định
Kết hợp \(x < 1\) với ĐKXĐ (\(x > 0\) và \(x \ne 1\)), ta được khoảng giá trị của \(x\) là:
\(0<x<1\)

...Xem thêm

Answer 2

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Biểu thức có chứa căn thức và nằm ở mẫu số, do đó điều kiện là:
\(x \ge 0\) (để \(\sqrt{x}\) xác định).
\(x \ne 0 \implies x > 0\) (để mẫu số \(\sqrt{x}\) ở biểu thức \(N\) xác định).
\(1 - \sqrt{x} \ne 0 \implies \sqrt{x} \ne 1 \implies x \ne 1\).
\(\sqrt{x} + 1 > 0\) (luôn đúng với mọi \(x > 0\)).

Vậy ĐKXĐ của biểu thức là: \(x > 0\) và \(x \ne 1\).

2. Rút gọn biểu thức \(M\) và \(N\)
Rút gọn \(M\):
\(M=\frac{1}{1-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)
\(M=\frac{(\sqrt{x}+1)-(1-\sqrt{x})}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}\)
\(M=\frac{\sqrt{x}+1-1+\sqrt{x}}{1-x}=\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\)
Rút gọn \(N\):
\(N=\frac{1}{\sqrt{x}}+1=\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

3. Rút gọn biểu thức \(A = M \cdot N\)
Thay \(M\) và \(N\) đã rút gọn vào \(A\):
\(A=\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
Vì \(1 - x = (1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})\), ta có:
\(A=\frac{2\sqrt{x}}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}\cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
Triệt tiêu \(\sqrt{x}\) và \((1 + \sqrt{x})\) ở cả tử và mẫu, ta được:
\(A=\frac{2}{1-\sqrt{x}}\)

4. Tìm \(x\) để \(A > \frac{1}{2}\)
Ta giải bất phương trình:
\(\frac{2}{1-\sqrt{x}}>\frac{1}{2}\)
\(\implies \frac{2}{1-\sqrt{x}}-\frac{1}{2}>0\)
\(\implies \frac{4-(1-\sqrt{x})}{2(1-\sqrt{x})}>0\)
\(\implies \frac{\sqrt{x}+3}{2(1-\sqrt{x})}>0\)
Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt{x} + 3 > 0\) với mọi \(x\) thỏa mãn ĐKXĐ. Do đó, để phân thức lớn hơn \(0\) thì mẫu số phải dương:
\(2(1-\sqrt{x})>0\)
\(\implies 1-\sqrt{x}>0\)
\(\implies \sqrt{x}<1\)
\(\implies x<1\)

Kết hợp với điều kiện xác định
Kết hợp \(x < 1\) với ĐKXĐ (\(x > 0\) và \(x \ne 1\)), ta được khoảng giá trị của \(x\) là:
\(0<x<1\)

Answer 3

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Biểu thức có chứa căn thức và nằm ở mẫu số, do đó điều kiện là:
\(x \ge 0\) (để \(\sqrt{x}\) xác định).
\(x \ne 0 \implies x > 0\) (để mẫu số \(\sqrt{x}\) ở biểu thức \(N\) xác định).
\(1 - \sqrt{x} \ne 0 \implies \sqrt{x} \ne 1 \implies x \ne 1\).
\(\sqrt{x} + 1 > 0\) (luôn đúng với mọi \(x > 0\)).

Vậy ĐKXĐ của biểu thức là: \(x > 0\) và \(x \ne 1\).

2. Rút gọn biểu thức \(M\) và \(N\)
Rút gọn \(M\):
\(M=\frac{1}{1-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)
\(M=\frac{(\sqrt{x}+1)-(1-\sqrt{x})}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}\)
\(M=\frac{\sqrt{x}+1-1+\sqrt{x}}{1-x}=\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\)
Rút gọn \(N\):
\(N=\frac{1}{\sqrt{x}}+1=\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

3. Rút gọn biểu thức \(A = M \cdot N\)
Thay \(M\) và \(N\) đã rút gọn vào \(A\):
\(A=\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
Vì \(1 - x = (1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})\), ta có:
\(A=\frac{2\sqrt{x}}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}\cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
Triệt tiêu \(\sqrt{x}\) và \((1 + \sqrt{x})\) ở cả tử và mẫu, ta được:
\(A=\frac{2}{1-\sqrt{x}}\)

4. Tìm \(x\) để \(A > \frac{1}{2}\)
Ta giải bất phương trình:
\(\frac{2}{1-\sqrt{x}}>\frac{1}{2}\)
\(\implies \frac{2}{1-\sqrt{x}}-\frac{1}{2}>0\)
\(\implies \frac{4-(1-\sqrt{x})}{2(1-\sqrt{x})}>0\)
\(\implies \frac{\sqrt{x}+3}{2(1-\sqrt{x})}>0\)
Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt{x} + 3 > 0\) với mọi \(x\) thỏa mãn ĐKXĐ. Do đó, để phân thức lớn hơn \(0\) thì mẫu số phải dương:
\(2(1-\sqrt{x})>0\)
\(\implies 1-\sqrt{x}>0\)
\(\implies \sqrt{x}<1\)
\(\implies x<1\)

Kết hợp với điều kiện xác định
Kết hợp \(x < 1\) với ĐKXĐ (\(x > 0\) và \(x \ne 1\)), ta được khoảng giá trị của \(x\) là:
\(0<x<1\)

...Xem thêm

Answer 4

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Biểu thức có chứa căn thức và nằm ở mẫu số, do đó điều kiện là:
\(x \ge 0\) (để \(\sqrt{x}\) xác định).
\(x \ne 0 \implies x > 0\) (để mẫu số \(\sqrt{x}\) ở biểu thức \(N\) xác định).
\(1 - \sqrt{x} \ne 0 \implies \sqrt{x} \ne 1 \implies x \ne 1\).
\(\sqrt{x} + 1 > 0\) (luôn đúng với mọi \(x > 0\)).

Vậy ĐKXĐ của biểu thức là: \(x > 0\) và \(x \ne 1\).

2. Rút gọn biểu thức \(M\) và \(N\)
Rút gọn \(M\):
\(M=\frac{1}{1-\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)
\(M=\frac{(\sqrt{x}+1)-(1-\sqrt{x})}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}\)
\(M=\frac{\sqrt{x}+1-1+\sqrt{x}}{1-x}=\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\)
Rút gọn \(N\):
\(N=\frac{1}{\sqrt{x}}+1=\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

3. Rút gọn biểu thức \(A = M \cdot N\)
Thay \(M\) và \(N\) đã rút gọn vào \(A\):
\(A=\frac{2\sqrt{x}}{1-x}\cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
Vì \(1 - x = (1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})\), ta có:
\(A=\frac{2\sqrt{x}}{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}\cdot \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
Triệt tiêu \(\sqrt{x}\) và \((1 + \sqrt{x})\) ở cả tử và mẫu, ta được:
\(A=\frac{2}{1-\sqrt{x}}\)

4. Tìm \(x\) để \(A > \frac{1}{2}\)
Ta giải bất phương trình:
\(\frac{2}{1-\sqrt{x}}>\frac{1}{2}\)
\(\implies \frac{2}{1-\sqrt{x}}-\frac{1}{2}>0\)
\(\implies \frac{4-(1-\sqrt{x})}{2(1-\sqrt{x})}>0\)
\(\implies \frac{\sqrt{x}+3}{2(1-\sqrt{x})}>0\)
Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt{x} + 3 > 0\) với mọi \(x\) thỏa mãn ĐKXĐ. Do đó, để phân thức lớn hơn \(0\) thì mẫu số phải dương:
\(2(1-\sqrt{x})>0\)
\(\implies 1-\sqrt{x}>0\)
\(\implies \sqrt{x}<1\)
\(\implies x<1\)

Kết hợp với điều kiện xác định
Kết hợp \(x < 1\) với ĐKXĐ (\(x > 0\) và \(x \ne 1\)), ta được khoảng giá trị của \(x\) là:
\(0<x<1\)

...Xem thêm

2 câu trả lời 61

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9