Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta cần chứng minh:

Cho đa thức

P(x)=ax²+bx+c

thỏa mãn:

Với mọi số nguyên x, P(x) luôn là một số chính phương.
Chứng minh rằng:

a,b,c đều là số nguyên;
b là số chẵn.

Bước 1. Chứng minh ccc là số nguyên
Lấy x=0:

P(0)=c

Do P(0) là số chính phương nên c là số nguyên.

Bước 2. Chứng minh a+b+c là số nguyên
Lấy x=1:

P(1)=a+b+c.

Vì P(1) là số chính phương nên

a+b+c∈Z.

Suy ra

a+b=(a+b+c)−c

là số nguyên.

Bước 3. Chứng minh 4a+2b là số nguyên
Lấy x=2:

P(2)=4a+2b+c.

Do P(2) là số chính phương nên

4a+2b=P(2)−c là số nguyên.

Bước 4. Suy ra a,b là số nguyên
Ta có hệ:

$\{\begin{cases} a + b \in Z \\ 4 a + 2 b \in Z \end{cases}$

Mà

4a+2b−2(a+b)=2a

là số nguyên.

Suy ra

a= $\frac{2 a}{2}$

Mặt khác,

2a=P(2)−2P(1)+P(0),

vế phải là hiệu của các số nguyên nên 2a là một số nguyên chẵn, do đó

a∈Z.

Từ

a+b∈Z

suy ra

b=(a+b)−a∈Z.

Vậy

a,b,c∈Z.
Bước 5. Chứng minh b là số chẵn
Ta xét

P(1)−P(−1)=(a+b+c)−(a−b+c)=2b.

Vì P(1) và P(−1) đều là số chính phương.

Mọi số chính phương khi chia cho 2 đều có dư 0 hoặc 1, nên hiệu của hai số chính phương luôn là một số chẵn.

Do đó

2b

là số chẵn.

Vì b đã là số nguyên nên suy ra

b là số chẵn.
Kết luận
a,b,c∈Z và b là số chẵn.

ĐPCM.

...Xem thêm

Answer 2

Ta cần chứng minh:

Cho đa thức

P(x)=ax²+bx+c

thỏa mãn:

Với mọi số nguyên x, P(x) luôn là một số chính phương.
Chứng minh rằng:

a,b,c đều là số nguyên;
b là số chẵn.

Bước 1. Chứng minh ccc là số nguyên
Lấy x=0:

P(0)=c

Do P(0) là số chính phương nên c là số nguyên.

Bước 2. Chứng minh a+b+c là số nguyên
Lấy x=1:

P(1)=a+b+c.

Vì P(1) là số chính phương nên

a+b+c∈Z.

Suy ra

a+b=(a+b+c)−c

là số nguyên.

Bước 3. Chứng minh 4a+2b là số nguyên
Lấy x=2:

P(2)=4a+2b+c.

Do P(2) là số chính phương nên

4a+2b=P(2)−c là số nguyên.

Bước 4. Suy ra a,b là số nguyên
Ta có hệ:

$\{\begin{cases} a + b \in Z \\ 4 a + 2 b \in Z \end{cases}$

Mà

4a+2b−2(a+b)=2a

là số nguyên.

Suy ra

a= $\frac{2 a}{2}$

Mặt khác,

2a=P(2)−2P(1)+P(0),

vế phải là hiệu của các số nguyên nên 2a là một số nguyên chẵn, do đó

a∈Z.

Từ

a+b∈Z

suy ra

b=(a+b)−a∈Z.

Vậy

a,b,c∈Z.
Bước 5. Chứng minh b là số chẵn
Ta xét

P(1)−P(−1)=(a+b+c)−(a−b+c)=2b.

Vì P(1) và P(−1) đều là số chính phương.

Mọi số chính phương khi chia cho 2 đều có dư 0 hoặc 1, nên hiệu của hai số chính phương luôn là một số chẵn.

Do đó

2b

là số chẵn.

Vì b đã là số nguyên nên suy ra

b là số chẵn.
Kết luận
a,b,c∈Z và b là số chẵn.

ĐPCM.

1 câu trả lời 50

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 9