Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

$Từ điểm P nằm ngoài đường tròn O kẻ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn \A, B là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của (ảnh 1)$

1) Do \[PA,{\rm{ }}PB\] là tiếp tuyến nên $\widehat {OAP} = \widehat {OBP} = 90^\circ .$

Xét tứ giác \[PAOB\] có

$\widehat {OAP} + \widehat {OBP} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $.

Mà $\widehat {OAP},\,\,\widehat {OBP}$ ở vị trí đối diện nên tứ giác \[PAOB\] nội tiếp.

2) Ta có $PA = PB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), $OA = OB = R$ nên $PO$ là trung trực của \[AB.\]

Suy ra $PO \bot AB$ tại $H$ là trung điểm của \[AB.\]

Xét $\Delta PAH$ và $\Delta PAH$$\Delta POA$ có \[\widehat {PHA} = \widehat {PAO} = 90^\circ ;\] $\widehat {APH}$ chung.

Do đó .

Suy ra \[\frac{{PA}}{{PH}} = \frac{{PO}}{{PA}}\] hay $P{A^2} = PH \cdot PO$ (đpcm).

3) Xét $\Delta PBM$ và $\Delta PNB$ có $\widehat {BPM}$ chung và

Do đó suy ra \[\frac{{PB}}{{PN}} = \frac{{PM}}{{PB}}\] hay \[P{B^2} = PM \cdot PN = P{A^2}\].

Mà $P{A^2} = PH \cdot PO$ nên $PM \cdot PN = PH \cdot PO$ hay$\frac{{PM}}{{PO}} = \frac{{PH}}{{PN}}$.

Xét $\Delta PMH$ và $\Delta PON$ có $\widehat {OPN}$ chung; $\frac{{PM}}{{PO}} = \frac{{PH}}{{PN}}$ (cmt).

Do đó , suy ra $\widehat {PMH} = \widehat {PON}$ (hai góc tương ứng).

Mặt khác $\widehat {PMH} + \widehat {NMH} = 180^\circ $ (kề bù) nên $\widehat {PON} + \widehat {NMH} = 180^\circ $.

Mà $\widehat {PON},\,\,\widehat {NMH}$ nằm ở vị trí đối diện nên tứ giác $HMNO$ nội tiếp.

Suy ra $\widehat {OMN} = \widehat {OHN}$ (cùng chắn cung \[ON\,)\].

4) Kẻ đường kính \[AE\] của $\left( O \right)$. Do \[I\] là trung điểm của \[MN\] nên $OI \bot MN.$

Xét tam giác $OMN\,\,\left( {OM = ON} \right)$ có $OI$ là đường trung tuyến (vì \[I\] là trung điểm của \[MN)\]nên $OI$ cũng là đường cao hay $OI \bot MN.$

Suy ra \[\widehat {OIP} + \widehat {OAP} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \].

Mà \[\widehat {OIP},\,\,\widehat {OAP}\] nằm ở trị trí đối diện nên tứ giác $OIPA$ nội tiếp.

Suy ra \[\widehat {IPO} = \widehat {IAO}\] (cùng chắn cung \[IO\,)\]

Mà $\widehat {IPO} = \widehat {INK}$ (\[OP\,{\rm{//}}\,NK\], so le trong) nên $\widehat {IAO} = \widehat {INK}$.

Chứng minh bổ đề: Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat {ACB} = \widehat {ADB}.$ Chứng minh tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp.

$Từ điểm P nằm ngoài đường tròn O kẻ hai tiếp tuyến PA, PB của đường tròn \A, B là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của (ảnh 2)$

• Giả sử $\Delta ABC$ có đường tròn ngoại tiếp tâm $O$ và đường kính $AK$ nên tứ giác $ABCK$ nội tiếp, suy ra $\widehat {ACB} = \widehat {AKB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB).$

Mà $\widehat {ACB} = \widehat {ADB}$ (giả thiết) nên $\widehat {ADB} = \widehat {AKB}.$ $\left( 6 \right)$

⦁ Gọi $F$ là giao điểm của $AK$ và $BD,$ $F$ nằm trong đường tròn $\left( O \right).$

Xét $\Delta AFD$ và $\Delta BFK$ có: $\widehat {AFD} = \widehat {BFK}$ (đối đỉnh) và $\widehat {ADF} = \widehat {BKF}$ (chứng minh trên)

Do đó suy ra $\frac{{AF}}{{BF}} = \frac{{DF}}{{KF}}$ nên $\frac{{AF}}{{DF}} = \frac{{BF}}{{KF}}.$

Xét $\Delta DFK$ và $\Delta AFB$ có: $\frac{{AF}}{{DF}} = \frac{{BF}}{{KF}}$ và \[\widehat {DFK} = \widehat {AFB}\] (đối đỉnh)

Do đó suy ra $\widehat {FDK} = \widehat {FAB}.\,\,\,\left( 7 \right)$

⦁ Ta có $\widehat {ABK}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ABK} = 90^\circ ,$ do đó $\Delta ABK$ vuông tại $B,$ suy ra $\widehat {FAB} + \widehat {AKB} = 90^\circ .\,\,\,\left( 8 \right)$

Từ $\left( 6 \right),\,\,\left( 7 \right),\,\,\left( 8 \right)$ suy ra $\widehat {ADB} + \widehat {FDK} = 90^\circ $ hay $\widehat {ADK} = 90^\circ .$

Khi đó $\Delta ADK$ vuông tại $D$ nên điểm $D$ nằm trên đường tròn đường kính $AK.$

Suy ra tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AK.$

Áp dụng bổ đề trên cho tứ giác $IKNA$ có $\widehat {IAO} = \widehat {INK}$ nên tứ giác $IKNA$ nội tiếp.

Suy ra \[\widehat {NIK} = \widehat {NAK}\] (cùng chắn cung \[NK\]).

Mà $\widehat {NAK} = \widehat {NME}$ (cùng chắn cung \[NE\]) nên \[\widehat {NIK} = \widehat {NME}\] suy ra \[IK\,{\rm{//}}\,ME\] (hai góc đồng vị bằng nhau)

Mặt khác $\widehat {AME} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $ME \bot AM.$

Do đó $NK \bot AM$ (đpcm).

...Xem thêm

Answer 2