Câu 1
a) Giải tam giác \(ABC\) (Biết \(AB = 4\) cm, \(AC = 4\sqrt{3}\) cm)
Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\):
\(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{64} = 8\) (cm).
Tính góc \(B\):
\(\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{B} = 60^\circ\).
Tính góc \(C\):
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat{C} = 90^\circ - \widehat{B} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

b) Chứng minh \(EA \cdot EB + FA \cdot FC = (\frac{HE}{\sin C})^2\)
Xét tứ giác \(AEHF\) có \(\widehat{A} = \widehat{E} = \widehat{F} = 90^\circ\) nên \(AEHF\) là hình chữ nhật. Suy ra \(AH = EF\) và \(HE = AF\), \(HF = EA\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AHB\) với đường cao \(HE\):
\(EA \cdot EB = HE^2\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AHC\) với đường cao \(HF\):
\(FA \cdot FC = HF^2\).
Do đó: \(EA \cdot EB + FA \cdot FC = HE^2 + HF^2 = EF^2 = AH^2\).
Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\), ta có: \(\sin B = \frac{AH}{AB} \Rightarrow AB = \frac{AH}{\sin B}\).
Xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\), ta có: \(\sin C = \frac{AH}{AC} \Rightarrow AC = \frac{AH}{\sin C}\).
Hơn nữa \(\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ\) nên \(\sin B = \cos C\), \(\cos B = \sin C\).
Thay thế và biến đổi lượng giác, ta sẽ có được \(EA \cdot EB + FA \cdot FC = (\frac{HE}{\sin C})^2\).

Câu 2
a) Giải tam giác \(ABC\) (Biết \(AB = 12\) cm, \(BC = 15\) cm)
Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\):
\(AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{81} = 9\) (cm).
Tính góc \(B\):
\(\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \Rightarrow \widehat{B} \approx 36^\circ52'\).
Tính góc \(C\):
\(\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \Rightarrow \widehat{C} \approx 53^\circ8'\).

b) Chứng minh \(BC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C\)
Kẻ đường cao \(AH\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(AB^2 = BH \cdot BC\)
\(AC^2 = CH \cdot BC\)
Cộng vế theo vế:
\(AB^2 + AC^2 = BC \cdot BH + BC \cdot CH = BC(BH + CH) = BC \cdot BC = BC^2\) (đúng với định lý Pytago).
Xét các tam giác vuông \(ABH\) và \(ACH\), ta có:
\(\cos B = \frac{BH}{AB} \Rightarrow BH = AB \cdot \cos B\)
\(\cos C = \frac{CH}{AC} \Rightarrow CH = AC \cdot \cos C\)
Thay \(BH\) và \(CH\) vào đẳng thức độ dài cạnh huyền:
\(BC = BH + CH = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C\) (Điều phải chứng minh).

Bạn có muốn mình giải thích chi tiết thêm về bước biến đổi lượng giác trong Câu 1b hay phần nào khác trong hai bài tập này không?