Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Lời giải Câu 1 (2,0 điểm)
Điều kiện xác định: $x > 0$ và $x \neq 1$.
1. Rút gọn biểu thức $A$

Bước 1: Biến đổi nhóm ngoặc thứ nhất:
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} - \frac{1}{x-\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} - \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}$
$= \frac{x - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$
Bước 2: Biến đổi nhóm ngoặc thứ hai:
$\frac{1}{\sqrt{x}+1} + \frac{2}{x-1} = \frac{1}{\sqrt{x}+1} + \frac{2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$
$= \frac{\sqrt{x}-1+2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{1}{\sqrt{x}-1}$
Bước 3: Thực hiện phép chia để rút gọn biểu thức $A$:
$A = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} : \frac{1}{\sqrt{x}-1} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} \cdot (\sqrt{x}-1) = \frac{x-1}{\sqrt{x}}$

Vậy biểu thức rút gọn là $A = \frac{x-1}{\sqrt{x}}$.

2. Tìm các giá trị của $x$ để $A = 2$

Ta có phương trình:
$\frac{x-1}{\sqrt{x}} = 2 \implies x - 1 = 2\sqrt{x} \implies x - 2\sqrt{x} - 1 = 0$
Đặt $t = \sqrt{x}$ (điều kiện $t > 0, t \neq 1$), phương trình trở thành:
$t^2 - 2t - 1 = 0$
Giải phương trình bậc hai theo $t$:
$\Delta' = (-1)^2 - 1 \cdot (-1) = 2$
$\implies t_1 = 1 + \sqrt{2} \text{ (thỏa mãn } t > 0)$
$\implies t_2 = 1 - \sqrt{2} \text{ (loại vì } 1 - \sqrt{2} < 0)$
Với $t = 1 + \sqrt{2}$, ta tìm $x$:
$\sqrt{x} = 1 + \sqrt{2} \implies x = (1 + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{2}$
Đối chiếu điều kiện ban đầu ($x > 0, x \neq 1$), giá trị $x = 3 + 2\sqrt{2}$ hoàn toàn thỏa mãn.

Kết luận: Giá trị $x$ cần tìm là $x = 3 + 2\sqrt{2}$.

Câu 2 (2,0 điểm)
Đề bài: Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc không đổi. Sau đó 1 giờ, một ô tô cũng đi từ A đến B với vận tốc lớn hơn xe máy là $10\text{ km/h}$. Cả hai xe đến B cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe, biết quãng đường AB dài $120\text{ km}$.
Lời giải:

Gọi vận tốc của xe máy là $x$ ($\text{km/h}$, điều kiện: $x > 0$).
Vận tốc của ô tô sẽ là: $x + 10$ ($\text{km/h}$).
Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: $\frac{120}{x}$ (giờ).
Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là: $\frac{120}{x+10}$ (giờ).

Vì ô tô xuất phát sau xe máy 1 giờ nhưng cả hai đến B cùng lúc, nên thời gian ô tô đi ít hơn thời gian xe máy là 1 giờ. Ta có phương trình:
$\frac{120}{x} - \frac{120}{x+10} = 1$

Quy đồng và khử mẫu phương trình:
$120(x + 10) - 120x = x(x + 10)$
$120x + 1200 - 120x = x^2 + 10x$
$x^2 + 10x - 1200 = 0$
Giải phương trình bậc hai:
$\Delta' = 5^2 - 1 \cdot (-1200) = 25 + 1200 = 1225 = 35^2$
$x_1 = -5 + 35 = 30 \quad (\text{thỏa mãn})$
$x_2 = -5 - 35 = -40 \quad (\text{loại})$

Kết luận: Vận tốc của xe máy là $30\text{ km/h}$, vận tốc của ô tô là $30 + 10 =$$40\text{ km/h}$.

Câu 3 (2,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} 3x + 2y = 11 \\ x - 2y = 1 \end{cases}$

Cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ:
$(3x + 2y) + (x - 2y) = 11 + 1$
$4x = 12 \implies x = 3$
Thay $x = 3$ vào phương trình thứ hai:
$3 - 2y = 1 \implies 2y = 2 \implies y = 1$

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (3; 1)$.
2. Bài toán tham số $m$:
Cho phương trình: $x^2 - 2(m + 1)x + m^2 + 4 = 0$. Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = 20$.

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
$\Delta' = [-(m+1)]^2 - 1 \cdot (m^2 + 4) = m^2 + 2m + 1 - m^2 - 4 = 2m - 3$
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta' > 0$:
$2m - 3 > 0 \implies m > \frac{3}{2}$
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 2(m + 1) \\ x_1 x_2 = m^2 + 4 \end{cases}$
Bước 3: Biến đổi biểu thức đối xứng
$x_1^2 + x_2^2 = 20 \implies (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 20$
Thay Vi-ét vào phương trình trên:
$[2(m + 1)]^2 - 2(m^2 + 4) = 20$
$4(m^2 + 2m + 1) - 2m^2 - 8 = 20$
$4m^2 + 8m + 4 - 2m^2 - 8 - 20 = 0$
$2m^2 + 8m - 24 = 0$
$m^2 + 4m - 12 = 0$
Bước 4: Giải tìm $m$
$\Delta'_m = 2^2 - 1 \cdot (-12) = 16 = 4^2$
$m_1 = -2 + 4 = 2 \quad (\text{thỏa mãn } m > \frac{3}{2})$
$m_2 = -2 - 4 = -6 \quad (\text{loại vì không thỏa mãn } m > \frac{3}{2})$

Kết luận: Giá trị cần tìm là $m = 2$.

Câu 4 (3,5 điểm)
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$.
1. Chứng minh tứ giác $BCEF$ nội tiếp đường tròn.

Xét tam giác $ABC$, có các đường cao $BE$ và $CF$.
Do đó: $\widehat{BFC} = 90^\circ$ và $\widehat{BEC} = 90^\circ$.
Xét tứ giác $BCEF$, hai đỉnh $F$ và $E$ kề nhau cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc bằng $90^\circ$.
$\implies$ Tứ giác $BCEF$ nội tiếp một đường tròn (đường tròn đường kính $BC$).

2. Chứng minh $AE \cdot AC = AF \cdot AB$.

Tứ giác $BCEF$ nội tiếp $\implies \widehat{AFE} = \widehat{ACB}$ (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
Xét $\Delta AFE$ và $\Delta ACB$ có:
$\widehat{A}$ là góc chung.
$\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$ (chứng minh trên).

$\implies \Delta AFE \sim \Delta ACB$ (g-g).
Suy ra tỉ số đồng dạng: $\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} \implies AE \cdot AC = AF \cdot AB$ (đpcm).

3. Đường thẳng $EF$ cắt $(O)$ tại $M$ và $N$ ($M$ nằm giữa $E$ và $N$). Chứng minh $AM = AN$.

Gọi $Ax$ là tia tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$ ($Ax$ thuộc nửa mặt phẳng bờ $AB$ không chứa $C$).
$\implies \widehat{xAB} = \widehat{ACB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung $AB$).
Mà theo chứng minh ở ý 2, ta có $\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$.
Suy ra $\widehat{xAB} = \widehat{AFE}$. Hai góc này ở vị trí so le trong nên $Ax \parallel EF$ (hay $Ax \parallel MN$).
Vì $Ax$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ nên $OA \perp Ax$. Do đó $OA \perp MN$.
Trong đường tròn $(O)$, bán kính vuông góc với dây cung $MN$ tại trung điểm của dây cung đó. Mà tam giác $AMN$ có đường cao hạ từ $A$ đồng thời là đường trung trực của đoạn $MN$ (do vuông góc tại trung điểm).
$\implies \Delta AMN$ cân tại $A$ $\implies AM = AN$ (đpcm).

Câu 5 (0,5 điểm)
Đề bài: Cho hai số thực dương $a, b$ thỏa mãn $a + b \leq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P = \frac{1}{a^2 b^2} + \frac{35}{ab}$

Câu 5 (0,5 điểm)
Đề bài: Cho hai số thực dương $a, b$ thỏa mãn $a + b \leq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P = \frac{1}{a^2 + b^2} + \frac{35}{ab}$
Lời giải:
Ta tách biểu thức $P$ để áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) và bất đẳng thức cộng mẫu Schwarz:
$P = \left( \frac{1}{a^2 + b^2} + \frac{1}{2ab} \right) + \frac{17}{2ab} + \frac{26}{ab}$

Nhóm 1: Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y}$:
$\frac{1}{a^2 + b^2} + \frac{1}{2ab} \geq \frac{4}{a^2 + b^2 + 2ab} = \frac{4}{(a+b)^2}$
Vì $a+b \leq 2 \implies (a+b)^2 \leq 4 \implies \frac{4}{(a+b)^2} \geq \frac{4}{4} = 1$.
Nhóm 2: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương $a, b$:
$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leq \left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1$
Do đó: $\frac{17}{2ab} \geq \frac{17}{2 \cdot 1} = \frac{17}{2}$ và $\frac{26}{ab} \geq \frac{26}{1} = 26$.
Cộng các vế lại với nhau:
$P \geq 1 + \frac{17}{2} + 26 = \frac{71}{2} = 35.5$
Xét dấu "=" xảy ra:
Hệ điều kiện khi dấu bằng đồng thời xảy ra là:
$\begin{cases} a^2 + b^2 = 2ab \\ a = b \\ a + b = 2 \end{cases} \implies a = b = 1$

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{71}{2}$ (hoặc $35,5$), đạt được khi $a = b = 1$.
Nếu có phần biến đổi nào chưa rõ, bạn hãy cho biết để mình giải thích kĩ hơn nhé!

...Xem thêm

Answer 2