Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho ngũ giác đều ABCDE và một điểm M nằm trong ngũ giác. Gọi A’, B’, C’, D’, E’ lần lượt là các điểm nằm trên các đoạn thẳng MA, MB, MC, MD, ME sao cho (ảnh 1)

Từ \(\frac{{MA'}}{{MA}} = \frac{{MB'}}{{MB}} = \frac{1}{3},\,\,\frac{{CC'}}{{MC}} = \frac{{DD'}}{{MD}} = \frac{2}{3},\,\,\frac{{ME'}}{{{E^\prime }E}} = \frac{1}{2}\) suy ra:

\(\frac{{MA'}}{{MA}} = \frac{{MB'}}{{MB}} = \frac{{MC'}}{{MC}} = \frac{{MD'}}{{MD}} = \frac{{ME'}}{{ME}} = \frac{1}{3}.\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Do đó: A’B’ // AB, B’C’ // BC, C’D’ // CD, D’E’ // DE, E’A’ // EA (định lí Thalès đảo).

Do A’B’ // AB nên \(\widehat {MA'B'} = \widehat {MAB}\) (đồng vị);

Do E’A’ // EA nên \(\widehat {MA'E'} = \widehat {MAE}\) (đồng vị).

Suy ra \(\widehat {MA'B'} + \widehat {MA'E'} = \widehat {MAB} + \widehat {MAE}\)

Hay \(\widehat {B'A'E'} = \widehat {BAE}.\)

Chứng minh tương tự, ta được các góc A’, B’, C’, D’, E’ của ngũ giác A’B’C’D’E’ tương ứng bằng các góc A, B, C, D, E của ngũ giác đều ABCDE.

Mà ABCDE là ngũ giác đều nên góc A, B, C, D, E của ngũ giác bằng nhau.

Do đó các góc của ngũ giác A’B’C’D’E’ bằng nhau. (2)

Mặt khác, từ (1) ta cũng chứng minh được:

\(A'B' = \frac{{AB}}{3};\) \(B'C' = \frac{{BC}}{3};\) \(C'D' = \frac{{CD}}{3};\) \(D'E' = \frac{{DE}}{3};\) \(E'A' = \frac{{EA}}{3}.\)

Mà ABCDE là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EA.

Do đó: A’B’ = B’C’ = C’D’ = D’E’ = E’A’. (3)

Từ (2) và (3) suy ra ngũ giác A’B’C’D’E’ là ngũ giác đều.

...Xem thêm

Answer 2