Bài 1: Xe máy và Ô tô gặp nhau
Gọi thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là x (giờ).
Gọi thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là y (giờ).
Điều kiện: x > y > 4.
Coi cả quãng đường AB là 1 (đơn vị công việc).
Trong 1 giờ, xe máy đi được: $\frac{1}{x}$ (quãng đường).
Trong 1 giờ, ô tô đi được: $\frac{1}{y}$ (quãng đường).
Trong 1 giờ, cả hai xe đi được: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ (quãng đường).
- Vì sau 4 giờ hai xe gặp nhau, nên trong 1 giờ cả hai xe đi được $\frac{1}{4}$ quãng đường. Ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$
- Vì ô tô đến A sớm hơn xe máy đến B là 6 tiếng, ta có phương trình: x - y = 6 => x = y + 6
=> Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\\ x - y = 6\end{array}\right.$
Thay x = y + 6 vào phương trình đầu:

$\frac{1}{y+6}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{y+y+6}{y(y+6)}=\frac{1}{4}\Rightarrow 4(2y+6)=y^2+6y$
=> $y^2-2y-24=0\Rightarrow (y-6)(y+4)=0$
=> y = 6 (Thỏa mãn) => x = 6 + 6 = 12 hoặc y = -4 (Loại).
Vậy: Thời gian xe máy đi hết quãng đường là 12 giờ, ô tô là 6 giờ.
Bài 2: Hai ô tô đi từ cảng Duy Khuất đến Sa Huỳnh
Đổi 40 phút = $\frac{2}{3}$ giờ.
Gọi vận tốc ban đầu của xe thứ nhất là x (km/h).
Gọi vận tốc ban đầu của xe thứ hai là y (km/h).
Điều kiện: x, y > 0.
Thời gian lượt đi của xe thứ nhất: $\frac{120}{x}$ (giờ).
Thời gian lượt đi của xe thứ hai: $\frac{120}{y}$ (giờ).
Vận tốc lượt về của xe thứ nhất: x + 5 (km/h) 
=> Thời gian về: $\frac{120}{x+5}$ (giờ).
Vận tốc lượt về của xe thứ hai vẫn là y => Thời gian về thực tế (kể cả nghỉ): $\frac{120}{y}+\frac{2}{3}$ (giờ).
Lượt đi xe 2 đến sớm hơn xe 1 là 1 giờ: $\frac{120}{x}-\frac{120}{y}=1$
Lượt về hai xe đến cùng lúc: $\frac{120}{x+5}=\frac{120}{y}+\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{120}{y}=\frac{120}{x+5}-\frac{2}{3}$
=> Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{120}{x}-\frac{120}{y}=1\\ \frac{120}{y}=\frac{120}{x+5}-\frac{2}{3}\end{array}\right.$

- Thay phương trình dưới vào phương trình trên:

$\frac{120}{x}-(\frac{120}{x+5}-\frac{2}{3})=1\Rightarrow \frac{120}{x}-\frac{120}{x+5}=\frac{1}{3}$
=> $\frac{120(x+5)-120x}{x(x+5)}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{600}{x^2+5x}=\frac{1}{3}\Rightarrow x^2+5x-1800=0$
Giải phương trình bậc hai ta được: x = 40 (thỏa mãn) hoặc x = -45 (loại).
Với x = 40 => $\frac{120}{40}-\frac{120}{y}=1\Rightarrow 3-\frac{120}{y}=1\Rightarrow \frac{120}{y}=2\Rightarrow y=60.$
Vậy: Vận tốc ban đầu xe thứ nhất là 40 km/h, xe thứ hai là 60 km/h.
Bài 3: Hai vòi nước cùng chảy vào bể
Đổi 1 giờ 20 phút = $\frac{4}{3}$ giờ. 10 phút = $\frac{1}{6}$ giờ; 12 phút = $\frac{1}{5}$ giờ.
Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (giờ).
Gọi thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là y (giờ).
Điều kiện: x, y > $\frac{4}{3}$.
Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được: $\frac{1}{x}$ (bể).
Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được: $\frac{1}{y}$ (bể).
- Cả hai vòi cùng chảy thì sau $\frac{4}{3}$ giờ đầy bể: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$
- Vòi 1 chảy 10 phút ($\frac{1}{6}$ giờ) và vòi 2 chảy 12 phút ($\frac{1}{5}$giờ) được $\frac{2}{15}$ bể: $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{y}=\frac{2}{15}$
- Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}\\ \frac{1}{6x}+\frac{1}{5y}=\frac{2}{15}\end{array}\right.$
Đặt $u=\frac{1}{x}$, v = $\frac{1}{y}$. Hệ trở thành: $\left\{\begin{array}{l}u+v=\frac{3}{4}\\ \frac{1}{6}u+\frac{1}{5}v=\frac{2}{15}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}u=\frac{1}{2}\\ v=\frac{1}{4}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x = 2\\ y = 4\end{array}\right.(Thỏa mãn)$
Vậy: Vòi 1 chảy riêng mất 2 giờ, vòi 2 mất 4 giờ để đầy bể.
Bài 4: Hai đội công nhân làm đường
Gọi thời gian đội 1 làm riêng xong con đường là x (giờ).
Gọi thời gian đội 2 làm riêng xong con đường là y (giờ).
Điều kiện: y > x > 4.
Trong 1 giờ, đội 1 làm được: $\frac{1}{x}$(con đường).
Trong 1 giờ, đội 2 làm được: $\frac{1}{y}$ (con đường).
Hai đội cùng làm trong 4 giờ thì xong: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$
Thời gian đội 1 ít hơn đội 2 là 6 tiếng: $y-x=6\Rightarrow y=x+6$
=> Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\\ y - x = 6\end{array}\right.$
- Thay y = x + 6 vào phương trình đầu: $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+6}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{2x+6}{x(x+6)}=\frac{1}{4}\Rightarrow 4(2x+6)=x^2+6x$
=> $x^2-2x-24=0\Rightarrow (x-6)(x+4)=0$
=> x = 6 (Thỏa mãn) => y = 6 + 6 = 12 hoặc x = -4 (Loại).
Vậy: Nếu làm riêng, đội thứ nhất mất 6 giờ, đội thứ hai mất 12 giờ để xong con đường.

Bài 1
Gọi thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là $x$ (giờ), thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là $y$ (giờ). (Điều kiện: $x>4, y>4$).

Vận tốc xe máy là $\frac{1}{x}$ (quãng đường/giờ), vận tốc ô tô là $\frac{1}{y}$ (quãng đường/giờ).

Từ giả thiết hai xe gặp nhau sau 4 giờ và ô tô đến sớm hơn xe máy 6 giờ, ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} 4\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1 \\ (x-4) - (y-4) = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} xy = 4x + 4y \\ x - y = 6 \end{cases}$

Thay $x = y+6$ vào phương trình $xy = 4x+4y$:

$(y+6)y = 4(y+6) + 4y \Leftrightarrow y^2 - 2y - 24 = 0 \Leftrightarrow (y-6)(y+4) = 0$.

Chọn $y=6$ (thỏa mãn), suy ra $x=12$.

Kết luận: Xe máy đi hết quãng đường AB trong 12 giờ, ô tô đi hết quãng đường AB trong 6 giờ.

Bài 2
Gọi vận tốc ban đầu của xe thứ nhất là $x$ (km/giờ), vận tốc ban đầu của xe thứ hai là $y$ (km/giờ). (Điều kiện: $x, y > 0, x+5 > 0$).

Thời gian đi lượt đầu là $\frac{120}{x}$ (xe 1) và $\frac{120}{y}$ (xe 2).

Vì xe 2 đến sớm hơn 1 giờ và lượt về cùng lúc (xe 2 nghỉ $\frac{2}{3}$ giờ):

$\begin{cases} \frac{120}{x} - \frac{120}{y} = 1 \\ \frac{120}{x+5} = \frac{120}{y} + \frac{2}{3} \end{cases}$

Giải hệ trên ta được $x=40, y=48$.

Kết luận: Vận tốc ban đầu của xe thứ nhất là 40 km/giờ, xe thứ hai là 48 km/giờ.

Bài 3
Đổi 1 giờ 20 phút = $\frac{4}{3}$ giờ; 10 phút = $\frac{1}{6}$ giờ; 12 phút = $\frac{1}{5}$ giờ.

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy đầy bể là $x$ (giờ), vòi thứ hai là $y$ (giờ). (Điều kiện: $x, y > 0$).

Ta có hệ phương trình:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \\ \frac{1}{6x} + \frac{1}{5y} = \frac{2}{15} \end{cases}$

Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}$, giải hệ ta được $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{4}$.

Suy ra $x = 2, y = 4$.

Kết luận: Vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong 4 giờ.

Bài 4
Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng xong con đường là $x$ (giờ), đội thứ hai là $y$ (giờ). (Điều kiện: $x, y > 0$).

Hai đội cùng làm trong 4 giờ xong việc và đội 1 làm nhanh hơn đội 2 là 6 giờ, ta có hệ:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \\ y - x = 6 \end{cases}$

Thay $y = x+6$ vào phương trình thứ nhất:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x^2 - 2x - 24 = 0 \Leftrightarrow (x-6)(x+4) = 0$.

Chọn $x=6$ (thỏa mãn), suy ra $y=12$.

Kết luận: Đội thứ nhất làm riêng hết 6 giờ, đội thứ hai làm riêng hết 12 giờ.